Теорема Нётер в классической теории поля Путаница

Учитывать$N$независимые скалярные поля$φ_i (x)$в 4D пространстве. Также рассмотрим лагранжевую плотность

$$\mathcal{L} = \mathcal{L}(φ_i, \partial_μφ_i).$$

Предположим, мы выполняем следующие инфинитезимальные преобразования:

$$x'^μ = x^μ + ε^α Χ^μ_α \tag{1}$$ $$φ_i '(x')=φ_i(x)+ ε^α Ψ_{iα} .\tag{2}$$

Обозначим$δφ = φ'(x')-φ(x)$и$\barδφ = φ'(x)-φ(x)$. Легко видеть, что

$$\barδφ_i= δφ_i - δx^ν \partial_ν φ_i. \tag{3}$$ Теперь, делая некоторые вычисления, которые можно найти во многих книгах (я следую за конспектами лекций Д. Гросса, а также вводными книгами по КТП Пескина и Вайнберга), мы видим, что при приведенных выше преобразованиях действие изменяется следующим образом: $$δS=\int d^4x \frac{δS}{δφ_i} \barδφ_i + \partial_μ[\mathcal{L}δx^μ +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_μ φ)} \barδφ_i] \tag{4}$$ Где$\frac{δS}{δφ_i} =0$являются уравнениями движения (УЭД).

1. Первое, что меня смущает, таково: чего мы хотим от этого преобразования, чтобы получить теорему Нётер: хотим ли мы, чтобы лагранжиан изменился до 4-дивергенции; лагранжиан должен быть инвариантным и удовлетворять или не удовлетворять уравнениям движения; или действие должно быть инвариантным, т. е. оставаться неизменным независимо от того, выполняются уравнения движения или нет?

Предположим, что МНВ удовлетворена тогда от$(4)$мы получаем только 4-дивергенцию в интеграле от действия.

2. Второй момент: если мы позволим лагранжиану измениться на 4-дивергенцию, как говорит Пескин в главе 2.2, то каждое бесконечно малое преобразование будет симметрией и даст сохраняющуюся величину, верно? (Я думаю, Пескин имеет дело только с преобразованиями поля, но все же то, что он говорит, должно быть частным случаем и, таким образом, обобщать то, что мы делаем здесь) С другой стороны, при переходе к уравнению$(4)$Гросс говорит, что если S должна быть инвариантной при этих преобразованиях (для произвольных объемов, отмечает он — важно ли это?), то 4-дивергенция должна быть равна 0, таким образом, мы имеем сохраняющийся ток. Действительно, я знаю, что общий ток Нётер — это именно то, что мы видим из (4): $$J^μ_α = \mathcal{L}X^μ_α +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_μ φ)}Ψ_{ia}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_μ φ)} \partial_ν φ_i X^ν_α.$$ Итак, когда у меня есть ЛЮБОЕ преобразование, я могу просто закрыть глаза, получить эту «формулу» и найти сохраняющийся ток?

Более того, не означает ли «инвариантное действие», что независимо от того, выполняются уравнения движения или нет, действие все равно не меняется? Значит, Гросс имеет в виду что-то другое?

3. В этом вопросе о тензоре энергии импульса из теоремы Нётер принятый ответ гласит: «Для действий, которые зависят только от первых производных полей, изменение действия неизбежно будет иметь вид $$S = \int (\partial_\mu a) j^\mu d^d x$$ где$j^\mu$является некоторой частной функцией полей или других степеней свободы (и их производных)».$(4)$принять эту форму? Должен ли? Обратите внимание, что я не указал, если$ε^α$постоянны или нет, в получении$(4)$мы были настолько общими, насколько это возможно по этому вопросу (верно?).