Нётеровский заряд и класс эквивалентности нётеровых токов

Пусть некоторая теория поля описывается лагранжевой плотностью${\cal L}$на пространстве-времени. Первая теорема Нётер утверждает, что при заданной квазисимметрии$\hat{\delta}\phi$есть класс токов$j^\mu$такой, что

$$\partial_\mu j^\mu =E\hat{\delta}\phi\tag{1}$$ где$E$являются уравнениями движения.

Два тока в одном и том же классе отличаются тривиальным током , который может быть либо (1) током, тождественно равным нулю на оболочке, (2) током, сохраняющимся даже вне оболочки, и (3) любой их комбинацией.

Вторая теорема Нётер утверждает, что когда квазисимметрия локальна , т. е. параметризуется функцией$f$, один такой ток, связанный с ним, подтверждающий (1), есть некоторый$S^\mu$который исчезает в оболочке$S^\mu\approx 0$. Поэтому любой другой ток в классе$j^\mu$проверяет

$$\partial_\mu(j^\mu - S^\mu)=0\Longrightarrow j^\mu=S^\mu+\partial_\nu k^{[\mu\nu]}\tag{2}.$$

В этой статье Г. Барнича и Ф. Брандта авторы говорят, что это порождает «загадку заряда Нётера»:

Обратите внимание, что суперпотенциал совершенно произволен , поскольку он выпадает из (1.1) [уравнение (1) этого поста] в связи с$\partial_\mu\partial_\nu k^{[\nu\mu]}=0$. Это означает, что нётеровский заряд, соответствующий$\delta_f$не определено, поскольку задается поверхностным интегралом произвольного$(n-2)$форма.

1. Почему та же проблема не возникает для глобальной симметрии, для которой не применима вторая теорема Нётер? Я имею в виду, что текущий класс такой симметрии уже не является тривиальным. Тем не менее, если$j^\mu$это ток в классе мы всегда можем добавить некоторые$\partial_\nu k^{[\mu\nu]}$. Чем это отличается от местного случая?

2. Что еще более важно, если мы определим заряд Нётер, интегрируя$j^\mu$над поверхностью Коши$\Sigma$является ли заряд в глобальном случае четко определенным? Потому что я вижу ту же проблему в глобальном случае. Позволять$j^\mu$быть тока в классе. Мы получаем еще один, добавляя$\partial_\nu k^{[\mu\nu]}$, то заряд изменяется на граничный член при$\partial \Sigma$.