Достаточные условия Тарского для парадокса лжеца и самореференции

В своей статье 1944 года «Семантическая концепция истины» Тарский привел три достаточных условия для возникновения парадокса лжеца:

  1. Язык, на котором сформулировано предложение Лжеца, является семантически закрытым, что означает, что он имеет предикат истинности True(x), такой, что он может ссылаться на свою собственную семантику (где x — имя истинного предложения), и он может ссылаться к своим собственным выражениям — например, предложение Р имеет имя «Р».
  2. Действуют законы логики, в том числе закон исключенного третьего (LEM).
  3. В этом языке возможна самореференция, например, путем обозначения предложения именем

Но тогда Тарский утверждает, что условие 3 на самом деле не нужно, поскольку есть способы вывести противоречие от Лжеца только с первыми 2. (Я не совсем понимаю пример, который привел Тарский, но я полагаю, что что-то вроде следующего также работают: «Алан: то, что сказал Борис, правда», «Борис: то, что сказал Алан, ложь».)

Мои вопросы заключаются в следующем:

а) Правильно ли я понял условие 3? (т.е. Cond 3 действительно касается возможности ссылки на себя?)

б) Если я правильно понимаю условие 3, разве оно не подразумевается условием 1? Если в языке есть имена для собственных выражений, неужели этого уже достаточно, чтобы выражения ссылались сами на себя?

На случай, если я неправильно интерпретировал Тарского, вот выдержки:введите описание изображения здесь введите описание изображения здесь

ТАРСКИЙ III немного отличается от ваших 3 выше, и да, последняя строка страницы 348 утверждает: «Оказывается, что предположение (III) не является существенным ...»
Но речь идет о «формальном происхождении» Лжеца, а не об интуитивном. См. Monika Gruber, Alfred Tarski and The Concept of Truth in Formalized Languages ​​(Springer, 2016) , стр. 30 и далее.
Существуют популярные языки для FOL, в которых у вас нет возможности спонтанно добавлять символы, в том числе имена для конкретных вещей. У вас есть эквивалент «подписанных» символов для переменной и константы, которые индексируются «порядковыми номерами» по мере их появления в некотором порядке глобального набора доказательств. Неясно, должна ли фраза иметь возможность занимать свою собственную позицию в глобальном наборе доказательств. Таким образом, ссылки на самих себя не являются автоматической частью I. С другой стороны, числа Геделя существуют. Таким образом, вы всегда можете получить имя для каждого предложения.
Заявление Тарского о достаточности весьма сомнительно. Интуитивно неясно, почему свойство языка содержать имя для каждого из его предложений приводит к самореференции, необходимой для возникновения стандартного парадокса лжеца. Для этого нам нужна лемма о фиксированной точке, а для этого требуется, чтобы язык мог представлять рекурсивные функции. То, что утверждение Тарского явно ложно, было показано Гуптой в его статье 1982 года: «Существуют непротиворечивые языки, семантически замкнутые в смысле Тарского.
Спасибо всем за ваши комментарии; но может ли кто-нибудь сообщить мне, правильно ли я интерпретировал условие 3 Тарского, пожалуйста?

Ответы (2)

Возможно, мы должны рассмотреть, чего пытается достичь Альфред Тарский [ref. к английскому изданию «Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen» (1935) ].

Цель состоит в том, чтобы (стр. 154) показать трудности, связанные с определением «истины в разговорном языке».

Тарский приводит известную схему (стр. 155):

x является истинным предложением тогда и только тогда, когда p

с примером (стр. 156):

«Идет снег» — истинное предложение, если идет снег.

Затем он показывает (стр. 157 и далее), как воспроизвести Лжеца, исходя из приведенного выше определения «... это правда» и не вызывающих возражений логических ходов (таких как подстановка), которые мы можем выполнять в современных логических системах, таких как логика предикатов или логика предикатов. распространенная (во времена Тарского) фундаментальная система, называемая теорией типов .

Отправной точкой является построение хорошо известного самореферентного утверждения, обозначенного буквой « с » в монографии 1935 года:

"предложение, напечатанное на этой странице,..."

и назван (2) в эссе 1944 года:

"' s ' идентично предложению, напечатанному в этой газете..."

С ними Тарский построил в 1935 году заявление:

для всех p , если c идентично предложению ' p ', то не p ,

и в 1944 г.:

' s ' истинно тогда и только тогда , когда ' s ' неверно .

Общая формулировка, которую достигает Тарский, формализована в Monika Gruber, Alfred Tarski and The Concept of Truth in Formalized Languages ​​(Springer, 2016) , стр. 23:

'∀p(c ='p'→¬p)' = c

откуда следует противоречие:

∀p(c ='p'→¬p) ⇐⇒ ¬∀p(c ='p'→¬p) .

В обеих версиях Тарский добавляет, казалось бы, загадочное примечание:

Мы предположили, что можем сформулировать и утвердить на нашем языке эмпирическую посылку, такую ​​как утверждение (2) [в 1944 г. или (с) в 1935 г.], которое имело место в нашем аргументе.

Что это значит? что мы можем сформулировать в точных и общих терминах самореферентное предложение, избегая ссылки на номера строк конкретного текста, которые, очевидно, уже меняются от издания к изданию.

Также предложения, основанные на использовании «человеческого индекса», такие как Алан и Борис или Эпименид , будут подвержены тем же ограничениям.

Большое спасибо, я немного смутился, в каком смысле утверждение является эмпирическим, ваше объяснение прояснило это.

Утверждение, что что-то одновременно истинно и ложно, требует двух разных понятий истины. Я могу высказывать неверные утверждения, будучи в то же время правдивыми. Сами утверждения могут быть истинными или неверными, если вы еще не знаете, истинны ли они. Я могу быть лжецом и не лгать одновременно. Если я всегда лгу, то вы должны заключить, что я лгу, когда говорю, что говорю правду. Если бы я всегда лгал, я не смог бы сказать, что я всегда лгу. Должен сказать, что я никогда не лгу. А из того, что я всегда лгу, ты должен заключить, что я лжец.

Вы могли бы предложить новый тип логики, в котором утверждение может быть истинным и неверным одновременно. За такую ​​же правду. Это то, что делает Тарский. Так что, если я скажу, что я лжец, я могу быть как прав, так и не прав. Если я лжец, это будет правдой, а если нет, то ложью. Предложение само по себе может быть истинным или ложным и не противоречит само себе.

Достаточные условия Тарского для парадокса лжеца и самореференции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v