Некоторые вопросы о «контексте» в математической логике

Просто как дополнительная информация: Барвайз работал в течение одного или двух десятилетий над анализом ситуации (который кажется очень похожим на то, что вы называете «контекстом») в логике. Он предложил изменить основные подходы к логике, предполагающие включение «ситуации». К сожалению, я не знаю, к какому развитию впоследствии привели его занятия. Вы можете проверить его основной текст об этом, который является частичным собранием статей. Очень приятно читать:

Дж. Барвайз: Ситуация в логике (CSLI, 1988).

После долгого обсуждения с автором вопроса я собираюсь разделить этот ответ на две части. Первая часть посвящена ответам на три вопроса, поставленных в основной части вопроса. Вторая часть посвящена ответу на заголовок вопроса: «Игнорирует ли математическая логика контекст полностью?»

1

Что касается первого вопроса, который задается (перефразируя на основе нашего разговора): «Чтобы ответить на вопрос «полностью игнорирует ли математическая логика контекст?», нужно ли нам иметь определение «контекста в естественных дедуктивных системах?»». на этот вопрос да, нам нужно иметь определение контекста, прежде чем мы сможем спросить, игнорирует ли математическая логика контекст.

Что касается второго вопроса, который спрашивает (перефразируя на основе нашего разговора): «Если ответ на (1) да, то что мы подразумеваем под «контекстом естественных дедуктивных систем» соответствует «контексту утверждений в английском языке? В противном случае логика не улавливает того, что представляет собой человеческое мышление». Ответ на этот вопрос — «да», но это тонкое «да», и это применимо только тогда, когда мы выражаем формулы из нашей логической системы на английском языке. Когда мы делаем декларативное утверждение на В английском языке мы делаем своего рода фактическое утверждение. Однако это может относиться ко многим различным контекстам. Это может быть контекст реального мира, это может быть контекст какого-то вымышленного мира из фильма или книги, или же может быть отсылкой к какой-то гипотетической альтернативной истории. Итак, это ясно показывает, что иногда высказывания на английском языке верны, а иногда нет, в зависимости от контекста, в который мы их помещаем. Если мы говорим «он застрелил дворецкого», имея в виду какой-то фильм, в котором персонаж стреляет в дворецкого, тогда это утверждение верно. Однако, если мы имеем в виду реальный мир и «он» обозначает кого-то, кто не стрелял в дворецкого, то это утверждение ложно. Это точная идея области дискурса, которую я определяю ниже. Именно здесь математическая логика получает понятие «контекст» или «смысл». «Контекст» естественной дедуктивной системы, как и английской семантики, меняется в зависимости от того, как мы ее используем. В английском языке это относится к тому, о чем мы говорим (наша планета, какая-то другая альтернативная история, мир в книге и т.

Что касается третьего вопроса, который спрашивает (перефразируя на основе нашего разговора): «Если мы предположим, что предполагаемое определение контекста, сформулированное в начале вопроса, неприемлемо (т. е. значение утверждения « отличается» от своего контекста), тогда как же верно, что системы естественной дедукции не игнорируют контекст и в каком смысле?» Во-первых, мы определим, какое значение и какой контекст имеют отношение к этой ситуации. «Смысл» высказывания в этом контексте относится к его семантическому содержанию. С точки зрения математической логики это означает теоретико-модельные свойства конкретного утверждения. «Контекст» относится к тому, какую конкретную область дискурса мы обсуждаем. Контекст — это фактическая область (реальный мир, книга и т. д.). ), а значением являются любые фактические суждения, которые утверждаются об этом мире. Это ведет непосредственно к части 2 моего ответа, которая показывает, что дедуктивные системы сами по себе не имеют дело со значением. Точно так же английские предложения сами по себе не имеют значения. Если мира не существует, если у нас нет области дискурса, то предложение «Корова счастлива» не имеет истинностного значения, потому что оно ни к чему не относится. Теория моделей в математической логике — это то, на что можно ссылаться естественной дедукции.

Чтобы повторить очень четкий и краткий ответ на (3): Сам по себеестественная дедукция не относится к конкретному контексту или значению, потому что она носит только синтаксический характер и относится только к дедуктивным процессам. «Естественная» часть «естественной дедукции» не означает «ссылку на естественный мир» (и она не относится к «естественным языкам», из-за чего может возникнуть некоторая ваша путаница в отношении английской семантики). «Естественный» был использован потому, что изобретатели теории хотели, чтобы дедуктивный процесс больше походил на то, что испытывает человеческий разум, когда он делает дедукции. Это ничего не говорит о контексте, в котором происходят выводы. Чтобы понять разницу между чисто синтаксическими (теоретико-доказательными) идеями и семантическими (значение и контекст, теория моделей) идеями, продолжайте читать раздел 2.

2

Теперь мы можем перейти к ответу на главный вопрос:

Определение «контекста» в математической логике дается областью дискурса , на которую распространяются формулы. Определение, данное в Википедии, выглядит следующим образом:

В формальных науках область дискурса, также называемая универсумом дискурса, универсальным набором или просто универсумом, представляет собой набор сущностей, в пределах которого могут варьироваться определенные переменные, представляющие интерес в некоторой формальной трактовке.

Учитывая это определение, переменные, которые появляются в формуле, являются просто случайными переменными , пока мы не дадим им контекст, предоставив область дискурса. В математической логике область дискурса определяется теорией моделей.

Судя по содержанию вашего вопроса, вы сосредоточены только на половине математической логики, на синтаксической половине. Да, совершенно верно, что синтаксическая половина математической логики, теория доказательств и теория рекурсии не заботятся о контексте в том смысле, в каком вы его определили («значение утверждений в разных контекстах»). Однако при этом игнорируется другая половина математической логики, теории множеств и теории моделей . Теория моделей — это дисциплина, которая объясняет, как мы можем присвоить контекст, значение синтаксическим структурам. Теория множеств — это изучение этих конкретных объектов и того, как они работают.

Когда мы говорим что-то вроде A ⊧ φ в логике, мы утверждаем, что φ истинно в модели A , что означает в контексте A. Очень часто люди, которые имеют только базовое представление о логике, говорят: «О, логика не заботится об истине! Она просто говорит вам, какие аргументы действительны, а не какие аргументы на самом деле верны в конкретном контексте», и это потому, что большинство вводных классов логики не углубляются в математическую логику. Как Питер СмитГоворя в этом плане о том, как научиться логике, он называет это «детской логикой». (Я не хочу, чтобы это было пренебрежительно по отношению к вам или даже подразумевало, что это то, о чем вы говорите. Если вы знаете, что такое математическая логика, то вы уже знаете больше, чем люди, которые получают базовое введение. Я хочу сказать, что что классы и введения в логику очень часто бывают очень простыми и игнорируют концепции семантики и истины, потому что это намного сложнее, и, к сожалению, это дает людям неправильное представление о том, что такое логика.)

В Оксфордском справочнике по философии математики и логикиУ стюарда Шапиро есть статья о логических следствиях, как синтаксических, так и семантических. Синтаксическая половина математической логики, теория доказательств и теория рекурсии, не имеет отношения к контексту, это чисто изучение синтаксических следствий и дедукции. Семантическая часть, теория моделей и теория множеств, являются инструментами, которыми мы располагаем, чтобы поместить дедукцию в контекст. Это дисциплины, которые показывают нам, как придать смысл произвольным логическим утверждениям и показывают, в каком контексте эти утверждения и их выводы считаются истинными. В своем вопросе вы сделали утверждения, относящиеся к дедуктивной системе, используемой в математической логике, чтобы не включать контекст. Это верно, но опять же, это подтверждает только половину математической логики. Итак, если ваш вопрос касается математической логики в целом, ответ отрицательный, он включает контекст. Если вопрос только о дедукции,

Учитывая, что то, что вы предложили, было бы правдой, было бы ужасно, если бы математическая логика не могла установить контекст. Если бы у него не было контекста, мы бы не смогли доказать ничего о числах, даже основных понятий арифметики! Когда мы смотрим на дедуктивные правила и аксиомы арифметики ( PA для этого аргумента), мы смотрим на синтаксическую структуру некоторых аксиом и их дедуктивную систему. Однако мы используем теорию моделей для обсуждения этих аксиом в контексте натуральных чисел . Это означает, что нас интересует истинность этих утверждений , поскольку они относятся к определенному контексту . Если бы мы не могли обсуждать модели, математическая логика была бы совершенно бесполезна в качестве основы всей математики.

Чтобы привести очень конкретный пример, мы можем рассмотреть аксиомы группы . Модель группы — это множество (A, M), где A — множество элементов, а M — функция, подчиняющаяся групповым аксиомам. Групповые аксиомы — замыкание , ассоциативность , тождество и инверсия . Теперь примером группы является множество целых чисел Z, снабженное функцией умножения. Это группа, потому что в контексте Z и умножениявсе утверждения языка, выводимые из этих аксиом, истинны. Теперь, в контексте другого набора, скажем, натуральных чисел N, оснащенных умножением, групповые аксиомы не выполняются. Почему? Потому что натуральные числа не подчиняются аксиомам инверсии. Нет инверсии «1», если у нас нет «-1» в качестве элемента. Ясно, что это демонстрирует, что дедукция является чисто синтаксической, но математическая логика в целом связана с применением синтаксиса к конкретным семантическим контекстам.

Нам нужно убедиться, что это действительно соответствует (или аналогично) «контексту утверждений в английском языке», потому что, если это не так, то как мы можем сказать, что «математическая логика не игнорирует контекст?» "?

Ответ на этот вопрос заключается в том, что «контекст» в логике может быть точно определен синтаксически , а синтаксис предназначен для имитации идеи подчинения, которую мы находим в естественном мышлении и языке. Так что да, логика предназначена для синтаксического представления контекстов так же, как и естественный язык. Но нет, он не может на самом деле охватить контексты естественного языка в абсолютном смысле, потому что всегда должен быть слой интерпретации, который преобразует символические контексты и утверждения в любой логической системе в семантические значения, которые (мы полагаем) понимаем.

Для простого примера мы можем сказать:

Пусть L обозначает утверждение, что естественный язык полезен.

Логическая система никогда не сможет установить эту ментальную связь между фразой «естественный язык полезен» и фактическим значением, которое он передает большинству носителей английского языка. Более того, разные люди могут интерпретировать его по-разному, и он непрозрачен для логической системы. Однако мы намеренно игнорируем этот вопрос, чтобы иметь возможность логически манипулировать утверждениями в соответствии с правилами вывода, прежде чем вернуться назад и интерпретировать наши выводы. Если аудитория согласна с правильностью правил вывода в соответствии с их интерпретациями, этого достаточно, чтобы заставить их принять выводы, которые правильно выведены из принятых предпосылок. Их интерпретации могут полностью отличаться от наших, и мы даже не можем сказать об этом. Этот аспект никогда не может быть охвачен логикой или математикой.

Насколько верно то, что системы естественной дедукции не игнорируют контекст и в каком смысле?

Естественная дедукция — это просто парадигма , а не система сама по себе. Его главная определяющая особенность заключается в том, что он использует синтаксически определенные контексты, чтобы разрешить и облегчить символическое рассуждение внутри и вне их. В частности, у нас часто есть правила введения и исключения для управления контекстами.

Например, модальная логика S4 имеет оператор необходимости «☐», которым можно управлять с помощью следующих правил контекста, в общих чертах описываемых следующим образом.

Если вы сделали вывод:

☐:

...

П.

Вы можете сделать вывод:

☐П.

Наоборот.

Мы также разрешаем классические рассуждения в любом контексте, что вместе с возможностью создания нового контекста под «☐» приведет к аксиоме распределения, как определено в этой статье SEP . Если мы еще добавим правило вывода о необходимости, мы автоматически получим и его, и (4), что показывает тесную связь между ними в рамках естественной дедукции.

Кстати , краткое обсуждение с Not_Here выявило некоторые различия в наших взглядах, поэтому я укажу на них. Во-первых, мы оба согласны с тем, что математика (и, в частности, естественная дедукция) может легко обрабатывать и анализировать одно и то же утверждение в разных контекстах. Однако он/она также утверждает, что теория моделей является ответом на семантику, и ссылается на статью SEP по теории моделей. Я считаю, что с точки зрения логики она представляет собой неполную и вводящую в заблуждение картину.

Причина в том, что в конечном счете любая форма рассуждения должна основываться на некоторой метасистеме. Без точно определенной метасистемы невозможно подтвердить или опровергнуть аргументы. Но единственный известный способ точного определения метасистемы на сегодняшний день — это синтаксис. Одним из распространенных способов является указание правил вывода вида «Если вы вывели утверждения вида ..., то вы можете вывести утверждение ...», а затем указать, что метасистема не выводит никаких других утверждений, кроме сгенерированных. по правилам вывода. Однако в интересах уточнения моего утверждения этот тип формальной системы слишком ограничителен. Чтобы достичь наибольшей общности, мы определяем формальную систему S как систему, имеющую верификатор доказательств .V, которая представляет собой программу (на каком-то фиксированном языке, полном по Тьюрингу), которая, получив в качестве входных данных пару (P, X) (в некоторой фиксированной кодировке), решает (всегда выводит «да» или «нет»), является ли P действительное доказательство утверждения X или нет. Хотя я использую термины «доказательство» и «утверждение», они служат лишь для помощи интуиции и на самом деле не являются частью определения. Другими словами, мы фактически определяем , что конечная строка P является доказательством над S конечной строки X тогда и только тогда, когда V(P,X) истинно, и в этом случае мы говорим, что X является теоремой S .

Теперь мы можем перейти к оспариваемым утверждениям. Теория моделей , как этот термин используется сегодня современными логиками, относится к разделу математики, а современная математика обычно основана на определенной формальной системе, называемой теорией множеств ZFC . Но теория множеств ZFC — лишь одна из многих несовместимыхвозможных оснований математики. Поэтому, прежде чем утверждать, что что-то может правильно уловить смысл реального мира, нужно сначала обосновать, что оно основано на формальной системе, сохраняющей истинность утверждений о реальном мире. В случае с современной теорией моделей нужно было бы обосновать, что теория множеств ZFC имеет значение в реальном мире именно в этом смысле, а для этого потребовалось бы, чтобы можно было интерпретировать любое предложение в ZFC в реальном мире, и чтобы можно было показать, что схемы аксиом ZFC сохраняют истину (здесь я уже допускаю, что классическая логика верна). Это очень трудная задача, и ни один логик никогда не делал этого, и помните, что есть много несовместимых кандидатов в основу математики, поэтому никакие два из них не могут быть одновременно совместимы с реальным миром.

Конечно, «теория моделей», используемая философами, может означать гораздо меньше, чем «теория моделей», используемая логиками. Это совершенно нормально. Но первым следствием необходимости точного определения метасистемы является то, что нельзя просто ссылаться на теорию моделей, как будто существует только одно такое понятие. На самом деле существует прекрасный спектр метасистем и соответствующих философских обоснований или их отсутствия, и я даю краткий отчет и некоторые ссылки в этом посте .

После рассмотрения спектра возможных метасистем должно быть ясно, что вещи не так легко обосновываются как абсолютные, как можно было бы подумать. Например, нельзя считать «натуральные числа» абсолютными. Все полезные метасистемы будут иметь структуру, удовлетворяющую аксиомам ПА, но она индивидуальна для каждой метасистемы. Никакая метасистема не может ссылаться на так называемые «настоящие» натуральные числа в реальном мире, даже если они существуют. Причина проста и может быть обоснована следующим образом (в подходящей метасистеме).

Возьмем любую (непротиворечивую) полезную формальную систему S, которая может построить любой набор «натуральных чисел», определяемый в первом порядке над PA. Тогда существует арифметическое предложение Con(S) такое, что:

1. S не доказывает, что S непротиворечиво.

2. S доказывает, что N удовлетворяет Con(S) тогда и только тогда, когда S непротиворечиво.

Теперь S не может доказать свою собственную непротиворечивость, иначе (1) сделало бы S несовместимой. Таким образом, S не может доказать, что N удовлетворяет Con(S). Также:

3. (S + S противоречиво) непротиворечиво.

4. ( S + S несовместимо ) доказывает, что N удовлетворяет PA.

Конечно, мы отвергаем (S + S противоречиво) как действительно полезное, но почему? Просто потому, что (здесь, в метасистеме) мы можем доказать, что (S + S противоречиво) должно иметь неправильное представление о N , а именно, что оно отличается от «реального» N (которое известно метасистеме). Но это показывает, что PA совершенно недостаточно для понимания понятия натуральных чисел. Исторически Гедель также сделал это, чтобы доказать существование нестандартной модели ПА.

Но это чревато серьезными последствиями. Мы не можем точно определить натуральные числа, но нам нужно определить метасистему, в которой есть та самая коллекция (которую, возможно, можно считать платонической). Никакого расширения PA будет недостаточно, и поэтому наша метасистема вполне может ссылаться на какую-то странную модель PA, которая на самом деле не совпадает с натуральными числами реального мира (если такая структура существует). Даже сама метасистема знает об этой возможности (как показано выше)!

Вот почему, в конечном счете, это философский вопрос, имеет ли какая-то данная формальная система значение в реальном мире, что затем имеет обширные последствия для теории моделей, проводимой в этой формальной системе как метасистеме выбора. Слишком слабый, и нельзя было бы сделать основные выводы о логике, например, описанные в связанном посте. Всего одно «неправильное» правило вывода, и метасистема обязательно будет иметь набор «натуральных чисел», которые она считает стандартными, но на самом деле таковыми не являются. Если мы считаем, что существует совокупность представлений в физических средах, которые подчиняются PA при соответствующей интерпретации с использованием алгоритмов (что объясняет, почему работают HTTPS и другие известные алгоритмы), то мы неизбежно верим, что эта модель PA является стандартной по определению физические представления, и, следовательно, мы не можем принять какую-либо метасистему, не имеющую стандартной модели ПА. С точки зрения логики, мы принимаем только метасистему, имеющую ω-модель. Проблема в том, как вы уже могли догадаться, мы не можем определить «ω-модель», кроме как относительно существующей модели PA...

(На самом деле существует ω-логика, которая может точно определить натуральные числа и всю теорию первого порядка, но, естественно, ω-логика не имеет эффективной дедуктивной системы.)