Две сферы - пространственноподобная гиперповерхность

Метрика Шварцшильда в радиальных координатах$(t, r, \theta, \phi)$дан кем-то
$ds^2 = -(1 - 2M/r) dt^2 + (1 - 2M/r)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 +r^2 \sin^2 \theta d\phi^2$
где$M$это масса черной дыры.
Гиперповерхность задается постоянной функцией$f$, в случае 2-сферы$r = constant$. Вектор, нормальный к гиперповерхности, описывается выражением$\xi^\mu = g^{\mu \nu} \nabla_\nu f$, где$\nabla_\mu$- ковариантная производная (сводящаяся к частной производной при применении к скаляру) и$g^{\mu \nu}$— обратный метрический тензор. Что касается 2-сферы, мы имеем
$\xi_\mu = (0, 1, 0, 0)$двойной вектор
$\xi^\mu = (0, (1 - 2M/r), 0, 0)$вектор
Квадрат нормы равен$\xi^\mu \xi_\mu = (1 - 2M/r)$, который является положительным (пространственным), когда$r > 2M$, то есть вне горизонта событий, ноль (null), когда$r = 2M$, то есть на горизонте событий и отрицательное (времениподобное), когда$r < 2M$, то есть внутри горизонта событий.
Поскольку гиперповерхность подобна времени, если норнал подобна пространству, равна нулю, если нормаль равна нулю, и подобна пространству, если нормаль подобна времени, мы имеем
2-сферу, подобную времени, когда$r > 2M$, вне горизонта событий.
2-сфера является нулевой, когда$r = 2M$, на горизонте событий
2-сфера подобна пространству, когда$r < 2M$, внутри горизонта событий

Касательные векторы к 2-сфере равны
$\zeta^t = (1, 0, 0, 0)$
$\zeta^\theta = (0, 0, 1, 0)$
$\zeta^\phi = (0, 0, 0, 1)$

Поверхности-ловушки не обязательно являются 2-сферами, это зависит от метрики. Например, захваченные поверхности в метрике Керра (вращающаяся черная дыра) не обладают радиальной симметрией.