Как можно измерить координаты Шварцшильда?

Координаты могут быть измерены в ОТО, хотя слишком часто этот факт упускается из виду или даже опровергается людьми, захваченными инвариантностью координат.

Как вы хорошо заметили, у Шварцшильда$r$на самом деле это не радиус в смысле «интегрировать под постоянным углом от центра и восстановить это значение». Однако он является радиальным в том смысле, что он ортогонален угловым координатам. Кроме того, он соответствует евклидовой интуиции в отношении окружностей и площадей в фиксированных точках.$r$.

Как можно координировать$r$измеряться?

Вот одна из процедур измерения, которую вы можете применить: сядьте в свою ракету с фиксированной величиной тяги, отталкиваясь от черной дыры так, чтобы вы зависали с постоянной скоростью.$r$. Заставьте всех своих друзей сделать то же самое вокруг черной дыры, чтобы все испытали одинаковое ускорение. Затем каждый может положить линейки по кругу, проходящему через все ракеты, и сумма показаний (при условии, что вы скорректировали положение так, чтобы максимизировать это значение) на самом деле равна$2\pi r$.

Может ли утверждение «горизонт событий$r =2GM$" быть сформулирована независимым от координат способом?

Вроде как, хотя, возможно, не так прямо, как хотелось бы. Конечно, горизонт событий — это просто поверхность, очерчивающая то, какие события могут повлиять на будущую нулевую бесконечность — без задействования координат.

Однако, используя приведенное выше обсуждение, мы могли бы сказать, что для любого$r > 2GM$что поверхность постоянной$r$- геометрическое место точек, в которых ракеты с заданным радиальным ускорением остаются неподвижными, а горизонт событий является пределом таких поверхностей.

В общем, я настаиваю на том, что координаты могут быть измерены, если вы можете придумать какой-нибудь эксперимент, где они появляются в формуле. Это немного шире, чем понятие измерения «интегрального$\sqrt{g_{\mu\mu}}$вдоль линии, где все координаты, кроме$x^\mu$постоянны», чего достаточно для простых пространств.

Во-первых, координатная карта не обязательно должна покрывать все пространство-время, а система координат Шварцшильда не может покрыть столько пространства-времени, сколько покрывают другие координатные карты.

В частности, горизонт событий не является частью пространства-времени, охватываемого координатной картой Шварцшильда.

Но книги, которые я видел, похоже, лечат$r$так же, как радиальная координата, и говорить о "радиусе устойчивой круговой орбиты" или что-то в этом роде.

Вы можете получить лучшие книги. $r$координата диаграммы Шварцшильда является пространственной координатой, а не радиальным расстоянием. И вообще это довольно глупая идея. Когда оболочка материи падает на звезду/планету, расстояние между оболочкой и далекими звездами увеличивается больше, чем расстояние между оболочкой и звездой/планетой уменьшается. Такова жизнь. Не определяйте себя тем, насколько вы далеки от чего-то, это вас укусит.

В остальной физике мы неуклонно сосредотачиваемся на том, как можно измерить математические величины, но я не знаю, как это работает здесь, для координаты Шварцшильда.$r$.

Вы не можете измерить$\theta$или$\phi$в любой сферически-симметричной системе координат. Так что я не уверен, почему это кажется нарушителем условий сделки. И вы можете измерить координату площади Шварцшильда$r$, В отличие от$\theta$или$\phi$которые неизмеримы.

В пространстве-времени Минковски с координатами$(t,x,y,z)$вы не можете найти начало координат или какие-либо координаты.

• Может ли утверждение «горизонт событий$r = 2GM$" быть сформулирована независимым от координат способом?

Это даже не имеет особого смысла. Карта координат охватывает только$r>2MG$вам нужна другая карта координат в событиях на горизонте.

• Как можно координировать$r$измеряться?

Вы можете измерить приливные силы в небольшой области времени и пространства и сравнить их с приливными силами, ожидаемыми для регионов с разными значениями$r.$

Но из-за принципа эквивалентности, если вы зафиксируете точность и допуск ваших измерений и рассмотрите достаточно маленькую область, вы не сможете сказать. На небольшом участке приливные силы трудно обнаружить.

Это фундаментальный принцип. Именно так мы можем делать прогнозы. Мы утверждаем, что для небольшой области пространства и времени это точно так же, как пространство-время Минковского (где вы не можете указать никаких координат, хотя некоторые направления по-прежнему явно времениподобны, а другие явно пространственноподобны). Вы выполняете свою физику в этом регионе, а затем, прежде чем попасть в другой регион, вы переключаетесь на их координаты.

Весь смысл написания метрики для практической системы координат состоит в том, чтобы позволить вам использовать одну систему координат в области, большей, чем позволяет локальная свободно падающая инерциальная система отсчета.

Но вы не должны локально быть в состоянии сказать. И если вы посмотрите на более крупные регионы, важно, как вы объедините всю информацию.

Но на самом деле наука заключается в использовании теории для создания моделей и извлечении предсказаний из модели, с одной стороны, и проведении наблюдений, с другой стороны, так что в цепкой руке вы можете проверить предсказания наблюдениями.

Измерение координат могло бы быть частью этого процесса, но суть не в этом. Нам даже не нужно использовать эту систему координат. И мы не должны использовать эту систему координат на горизонте событий.

Вы можете относиться$r$к приливным силам, которые испытывает наблюдатель, или использовать уменьшенную окружность или радиус площади и т. д. для наблюдателей без углового момента (см. Другие ответы). Многие книги выступают против того, чтобы называть$r$«радиус», слово «радиальный» кажется более популярным и общим, но, чтобы быть особенно осторожным, вы можете просто сказать «Шварцшильд$r$-координата". Лично я гибкий; пока понятно, что нельзя повесить статическую линейку на$r=0$к$r=2M$, и что в теории относительности расстояние относительно наблюдателя.

Однако вы, безусловно, можете использовать движущуюся линейку внутри горизонта. Возьмем наблюдателя, который свободно упал с большого$r$. Тогда правильное расстояние$\int ds$вдоль их пространственного радиального направления действительно$dr$, а укладка таких падающих линеек впритык действительно дает общую длину$2M$. См. Taylor & Wheeler, Exploring Black Holes (2000, стр.$\S B.3$).

В общей теории относительности вы можете выбрать любую систему координат, какую захотите.

Так говорят люди, но это неправда. Представьте, что ваша система координат окрашена в синий цвет. Вы можете принять новую систему координат, если хотите, но она тоже синяя. Вы можете иметь любую систему координат, которая вам нравится, пока она синего цвета. Хорошо, теперь посмотрите на это изображение черной дыры:

Он черный посередине. Вот где нет системы координат . Люди обычно говорят, что горион событий — это просто артефакт, и вы можете принять новую систему координат, охватывающую этот центральный регион, но вы не можете … Потому что гравитационная система замедления времени уходит в бесконечность.

Например, горизонт событий черной дыры Шварцшильда равен$r = 2GM$. Наивная интерпретация$r$как радиальная координата, это предполагает, что горизонт событий "$2GM$от центра черной дыры", но это утверждение не имеет смысла и с математической точки зрения (расстояние$\int ds$не является$2GM$вообще) или физически (вы не можете расширить свою сеть линейки внутри черной дыры). Но книги, которые я видел, похоже, лечат$r$так же, как радиальная координата, и говорить о "радиусе устойчивой круговой орбиты" или что-то в этом роде.

Здесь присутствует определенное расстояние. Для простоты подумайте о пространстве без звезды, а затем о том же пространстве со звездой посередине. Есть расстояние от вас до поверхности этой звезды и до центра звезды. Когда вы заменяете звезду черной дырой, r не является ни тем, ни другим.

В остальной физике мы неуклонно сосредотачиваемся на том, как можно измерить математические величины, но я не знаю, как это работает здесь, для координаты Шварцшильда.$r$.

Это не совсем работает здесь, не так, как люди предлагают. Взгляните на статью о радиусе Шварцшильда в Википедии. Обратите внимание на выражение$\frac{t_r}{t} = \sqrt{1 - \frac{r_\mathrm{s}}{r}}$и подумайте о том, что происходит, когда r = r _s. Также обратите внимание, что вы можете измерить замедление времени, используя часы на разных высотах. Хорошо, а теперь разматывай очень длинный кабель с твоего воображаемого космического корабля со световыми часами через каждые десять метров. Пусть он качается к черной дыре. Не раскручивайте его до горизонта событий. Для этого может потребоваться несколько пробных попыток и несколько запасных кабелей световых часов. После того, как вы его размотали, оставьте его там на год, чтобы время разматывания и намотки было незначительным. Затем нанесите на график все показания часов. Показания часов внизу ниже, чем наверху, и ваш график изогнут, как и на изображении выше. Вы можете экстраполировать, после чего вы видите спорный вопрос: если бы вы смогли размотать свой кабель так, чтобы самые нижние часы были на горизонте событий, и если бы вы смогли должным образом обеспечить время размотки и намотки, это самое низкое показание часов будет равняться нулю. Потому что гравитационное замедление времени становится бесконечным. Тогда правда должна прийти к пониманию: по правде говоря, вы не сделалилюбое измерение с помощью этих часов, потому что горизонт событий — это место, где останавливаются ваши измерения, потому что там останавливаются часы.

Остановившиеся часы не могут идти медленнее, чем остановившиеся, а поскольку сила гравитации связана с градиентом потенциала, который, в свою очередь, связан с этими часами, вы сможете понять, что в этом месте гравитации нет . Вы также должны быть в состоянии понять, что вы не можете принять новую систему координат, чтобы остановить тиканье часов. Координаты Крускалса-Секереша якобы делают это, но они фактически помещают остановившегося наблюдателя перед остановившимися часами и утверждают, что он видит, как они тикают нормально «в его кадре». Это ерунда. Часы остановились, и он тоже. Он ничего не видит . Координаты Эддингтона-Финкельштейна аналогичны. Обязательно прочтите первый абзац статьи в Википедии.в котором говорится, что они были придуманы Пенроузом и продвигались Мизнером / Торном / Уилером. Кип Торн в настоящее время пропагандирует путешествия во времени.

Может ли утверждение «горизонт событий$r = 2GM$" быть сформулирована независимым от координат способом?

Да. Это место, где останавливаются все системы координат . Вы не можете пройти мимо этого места. Там также нет падения мимо него. См. здесь второй абзац и обратите внимание на застывшую звезду в книге Кевина Брауна « Формирование и рост черных дыр» .

Как можно координировать$r$измеряться?

Практически не измеришь. Но вы можете понять, почему нет.