Единственность класса эквивалентности инерциальных систем отсчета

Далее следует версия утверждения, которое вы хотите доказать, в котором предполагается, что любые две системы отсчета связаны преобразованием пространства-времени, которое оставляет время неизменным с точностью до переноса и сохраняет евклидовы расстояния. Из-за этих гипотез приведенное ниже утверждение является ньютоновским ответом на вопрос. Однако я уверен, что аналогичный специальный релятивистский ответ может быть построен.

Следующая теорема по существу говорит, что если даже требуется, чтобы при преобразовании между друзьями сохранялся только первый закон Ньютона, то системы отсчета должны быть связаны преобразованием Галилея, поэтому они должны находиться в одном и том же классе эквивалентности.

Теорема. Пусть дважды дифференцируемая, сохраняющая ориентацию, зависящая от времени евклидова изометрия$T:\mathbb R\to \mathrm{ISO}(3)$дать, и пусть$t_0$быть действительным числом. Если преобразование пространства-времени

$$\begin{align} G(t,\mathbf x) = (t+t_0, T(t)(\mathbf x)) \end{align}$$ сохраняет первый закон Ньютона, то $G$является Галилеем.

Доказательство. $T(t)$можно записать как зависящее от времени вращение плюс зависящий от времени перевод:

$$\begin{align} T(t)(\mathbf x) = R(t)\mathbf x + \mathbf c(t). \end{align}$$ Поэтому под действием $G$, прямая линия $\mathbf x_0 + t\mathbf v_0$отображается в следующую кривую: $$\begin{align} R(t)(\mathbf x_0 + (t+t_0)\mathbf v_0) + \mathbf c(t) \end{align}$$ Если $G$сохраняет первый закон Ньютона, то эта преобразованная кривая должна иметь нулевое ускорение независимо от того, $\mathbf x_0$и $\mathbf v_0$мы выбираем. Таким образом, $$\begin{align} \frac{d^2}{dt^2} \big[R(t)(\mathbf x_0 + (t+t_0)\mathbf v_0) + \mathbf c(t)\big] = \mathbf 0, \end{align}$$ для всех $\mathbf x_0,\mathbf v_0\in\mathbb R^3$. Распределение производных в левой части дает $$\begin{align} \ddot R(t) \mathbf x_0 + \ddot R(t) (t+t_0)\mathbf v_0 + 2\dot R(t) \mathbf v_0 + \ddot{\mathbf c}(t) = \mathbf 0 \end{align}$$ Выбор $\mathbf x_0 = \mathbf v_0 = \mathbf 0$дает $\ddot{\mathbf c}(t) = 0$откуда следует, что существуют постоянные векторы $\mathbf c$и $\mathbf v$такой, что $\mathbf c(t) = \mathbf c + t \mathbf v$. Использование этого дает уменьшенное ограничение $$\begin{align} \ddot R(t) \mathbf x_0 + \ddot R(t) (t+t_0)\mathbf v_0 + 2\dot R(t) \mathbf v_0 = \mathbf 0. \end{align}$$ Теперь, собирая $\mathbf v_0 = \mathbf 0$дает $\ddot R(t) \mathbf x_0 = \mathbf 0$для всех $\mathbf x_0$, а это в свою очередь означает, что $\ddot R(t) = 0$. Использование этого еще больше сводит к $$\begin{align} \dot R(t)\mathbf v_0 = \mathbf 0 \end{align}$$ для всех $\mathbf v_0$, а это означает, что $\dot R(t) = 0$. Это означает, что происходит постоянное вращение $R$такой, что $R(t) = R$. Собрав все это вместе, мы обнаруживаем, что наша исходная изометрия $T(t)$принимает следующий вид: $$\begin{align} T(t) = R\mathbf x + \mathbf c + t\mathbf v \end{align}$$ и поэтому $G$является галилеевой, а именно состоит только из переноса во времени, постоянного пространственного переноса, галилеева ускорения с постоянной скоростью и постоянного вращения. $\blacksquare$.

Рассмотрим обращение времени или преобразования четности.

Поскольку в некоторых физиках такой симметрии нет, существуют отдельные неэквивалентные классы инерциальных систем отсчета.

В каждом классе физика будет выглядеть одинаково, и вы можете вращать, переводить или перемещать из одной инерциальной системы координат в другую в том же классе. Но физика будет выглядеть иначе по сравнению с другим классом инерциальных систем отсчета.