Нужна ли нам ограниченная область, чтобы уравнение Лапласа имело ненулевое решение uuu?

Поскольку вы имеете дело со всем пространством, вы можете воспользоваться так называемой теоремой Лиувилля для гармонических функций.

Теорема Лиувилля . Позволять$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$быть$C^2$функция такая, что$\Delta \phi =0$повсюду. Если$\phi$ограничено (т. е. существует$k \in [0,+\infty)$такой, что$|\phi(x)| \leq k$для каждого$x \in \mathbb R^n$), затем$\phi$везде постоянна.

Это имеет пару следствий.

Следствие 1. Пусть$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$быть$C^2$функция такая, что$\Delta \phi =0$повсюду. Если$\phi$ограничено и$\phi(a n) \to 0$как$a \to +\infty$, где$n \in \mathbb R^n$является фиксированным единичным вектором, то$\phi=0$.

Доказательство .$\phi$ограничено, поэтому$\phi(x)=c$постоянно в силу теоремы Лиувилля.$c = \lim_{a\to +\infty} c = \lim_{a\to +\infty} \phi(a n) = 0$.

Следствие 2. Пусть$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$быть$C^2$функция такая, что$\Delta \phi =0$повсюду. Если$\phi(x)$как правило$0$как$|x|\to +\infty$(т.е. для каждого$\epsilon >0$есть$r_\epsilon>0$такой, что$|\phi(x)|< \epsilon$если$|x|> r_\epsilon$), затем$\phi=0$.

Доказательство . Брать$\epsilon >0$так что$|\phi(x)|< \epsilon$если$|x|> r_\epsilon$. В компактном наборе$|x| \leq 2r_\epsilon$,$\phi$непрерывен (поскольку$C^2$) и, таким образом, он ограничен в нем некоторым$M \geq 0$. Следовательно$|\phi(x)| \leq \epsilon_r + M$для всех$x \in \mathbb R^n$. Теорема Лиувилля теперь подразумевает, что$\phi(x)=c$постоянно. Однако эта постоянная$c$должен удовлетворить$0 \leq |c |< \epsilon$для каждого$\epsilon >0$и поэтому$c=0$.

Второе следствие использует очень слабое требование относительно того, как$\phi$равномерно стремится к$0$для$|x|\to +\infty$. Очевидно$\phi(x) \sim const/|x|$нормально, но достаточно и гораздо более слабых сходимости, например$\sim const / \ln |x|$...

Я не уверен, что понимаю, что вы подразумеваете под «ограниченным доменом». Это ответ, основанный на том, что я понимаю из вопроса.

Для однозначного решения уравнения Лапласа необходимо задать граничное условие типа Дирихле или Неймана.

РЕДАКТИРОВАТЬ: граница интересующей области может находиться как на конечных расстояниях, так и на бесконечности. Например, чтобы решить потенциал, связанный с изменением точки в свободном пространстве, вы должны решить уравнение Пуассона. Здесь мы берем потенциал, стремящийся к нулю на бесконечности. Поэтому, если вы имеете в виду какую-то конечную границу, в этом нет необходимости. Как вы знаете, решение в этом случае является знакомым$u(r)\sim \frac{1}{r}$Кулоновский потенциал (который не везде тождественно равен нулю).

Теперь для уравнения Лапласа в абсолютно свободном пространстве (нигде нет заряда), если граничное условие таково, что потенциал обращается в нуль везде на границе, то потенциал везде останется равным нулю просто потому, что уравнение Лапласа не поддерживает локальные максимумы или минимумы.