Эффект Парселла в недисперсионном режиме: атом в полости при умеренных ΔΔ\Delta

Исследуемая система представляет собой двухуровневую систему, помещенную в полость. Это может быть атом и трехмерный резонатор, сверхпроводящий кубит и копланарный волноводный резонатор, но детали не имеют значения. Мы просто предположим, что у нас есть двухуровневый атом, связанный с полостью, и запишем гамильтониан как

В 1946 г. Э. Перселл вывел, что когда такую ​​двухуровневую систему помещают внутрь резонатора (как мы сделали выше), она имеет измененную скорость спонтанного излучения$\Gamma_{1a}$, где$a$используется для обозначения того, что речь идет о двухуровневой системе [1] . Он известен как эффект Парселла и наблюдался в нескольких различных системах, таких как электрические цепи ( [2] , arXiv в [3] ), и, что наиболее интересно для меня, также в трансмоновых кубитах, связанных с копланарными волноводными резонаторами ( [ 4] , arXiv в [5] ).

Что я нашел в литературе [2] , так это то, что для этого есть два основных режима: первый состоит в том, что резонатор находится в резонансе с атомом, и в этом случае они гибридизуются в два состояния с$\Gamma_{1\{r,a\}}^{'} = \frac{\Gamma_{1r}+\Gamma_{1a}}{2}$где я использовал простое число, чтобы дифференцировать чистые уровни потерь и эффективные уровни потерь из-за взаимодействия двух систем. Второй сценарий — так называемый дисперсионный режим, при котором$\Delta^2 = \left|\omega_r-\omega_a \right|^2 \gg g^2$, для которого есть это

Теперь мой вопрос заключается в том, как можно найти выражение для$\Gamma_{1a}^{'}$в промежуточном режиме; между дисперсионной частью и полностью гибридизированной частью. В статье Koch et al. [4] кое-что пишет об этом в разделе IV B, отмечая, что можно использовать золотое правило Ферми, но я не чувствую, что то, как оно сформулировано там, может быть использовано для полного выражения. Точно так же [2] показывает теоретическую кривую на рисунке 2b, но не содержит ссылки на то, как она рассчитывается.

Вот к чему сводится мой вопрос; учитывая описанную выше ситуацию, зная все определенные параметры, как мне вычислить$\Gamma_{1a}^{'}(\Delta)$для произвольной расстройки$\Delta$? Я понимаю, что это можно сделать численно, а не с помощью красивого аналитического уравнения; это нормально для меня.

Наконец, если это поможет, я могу дать несколько порядков для рассматриваемых величин. Возьмем$\Delta = [0 - 400]$МГц/2$\pi$,$g = 80$МГц/2$\pi$,$\Gamma_{1a} = 60$МГц/2$\pi$и$\Gamma_{1r} = 1$МГц/2$\pi$. Это просто оценка интересующего меня сценария, это не должно иметь значения для проблемы.