Эквивалентность калибровки Лоренца и уравнения неразрывности

Я хочу показать, что условие калибровки Лоренца

∇ ⋅ А + 1 с 2 ∂ Φ ∂ т     "="     0 ,
где А и Φ векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля, эквивалентны уравнению неразрывности
∇ ⋅ Дж + ∂ р ∂ т     "="     0 ,
где Дж это электрический ток и р плотность заряда, используя общее выражение потенциала с использованием запаздывающих функций Грина
Φ     "="     1 4 π ε 0 ∫ г 3 Икс ′ р ( Икс ′ , т − 1 с | Икс − Икс ′ | ) | Икс − Икс ′ | А     "="     мю 0 4 π ∫ г 3 Икс ′ Дж ( Икс ′ , т − 1 с | Икс − Икс ′ | ) | Икс − Икс ′ |

Мой первый порыв состоит в том, чтобы просто подставить выражение потенциала в калибровку Лоренца, что дает

∇ ⋅ А + 1 с 2 ∂ Φ ∂ т     "="     мю 0 4 π ∫ г 3 Икс ′ ∇ Икс ⋅ Дж ( Икс ′ , т − 1 с | Икс − Икс ′ | ) | Икс − Икс ′ |     +     мю 0 4 π ∫ г 3 Икс ′ ∂ ∂ т р ( Икс ′ , т − 1 с | Икс − Икс ′ | ) | Икс − Икс ′ |     "="     мю 0 4 π ( ∫ г 3 Икс ′ ∇ Икс ⋅ Дж ( Икс ′ , т − 1 с | Икс − Икс ′ | ) | Икс − Икс ′ | − ∫ г 3 Икс ′ Дж ( Икс ′ , т − 1 с | Икс − Икс ′ | ) ⋅ Икс − Икс ′ | Икс − Икс ′ | 3 + ∫ г 3 Икс ′ ∂ ∂ т р ( Икс ′ , т − 1 с | Икс − Икс ′ | ) | Икс − Икс ′ | ) ,
с использованием
∇ ⋅ ψ А     "="     ψ ∇ ⋅ А + А ⋅ ∇ ψ .

Итак, первый и последний члены в последнем выражении — это уравнение неразрывности, но этот средний член все портит. Я не понимаю, почему он должен быть равен нулю, а если не должен, то в чем я не прав.

Что мне здесь не хватает. Они не могут быть эквивалентны. Уравнение неразрывности должно выполняться, но не обязательно условие Лоренца.
Я вижу вашу точку зрения. Это то, что серия упражнений просит меня сделать. Таковы выражения потенциалов в случае однородных граничных условий в пустом пространстве, так что я предполагаю, что в этом простом случае эквивалентность имеет место?
Привет, @Nat, я заметил, что ~~=~~в последнее время ты редактируешь уравнения. Какая-то конкретная причина? Это выглядит не очень хорошо, и это не рекомендуется.
@AccidentalFourierTransform В основном просто для того, чтобы разложить их. Я стараюсь, чтобы выражения были более локальны в пространстве по отношению к тем, с которыми они взаимодействуют первыми при синтаксическом анализе, поэтому операнды с низким приоритетом операций, как правило, =имеют больший интервал вокруг них. Я думаю, что большинство людей, как правило, используют \quadили \qquad, но ~~мне это кажется немного чище и более регулируемым. Если это выглядит не так, беспокоит ли это то, что интервала недостаточно или слишком много?
@Nat Хм, я не думаю, что люди используют знак \quadили \qquadвокруг него =, по крайней мере, не очень часто. Обычный интервал вокруг =знака генерируется автоматически. Вставка дополнительного пробела не рекомендуется. Это нормально, если вы хотите включить такой интервал в свои уравнения, но я не думаю, что вам следует добавлять его в уравнения других людей. Я, например, не хотел бы, чтобы люди редактировали мои посты, добавляя нетрадиционный и идиосинкразический стиль.
@AccidentalFourierTransform Да, я не собирался навязывать им стиль, который кому-то не нравится. Я должен проверить соглашения; у меня не сложилось впечатление, что это было необычно или выглядело странно.
Я не понимаю, почему этот вопрос, который я задал несколько месяцев назад и который был в значительной степени проигнорирован, получает близкое голосование из-за «возможного дубликата» со ссылкой на вопрос, который мне не кажется, что он имеет что-либо делать с моим (я не хочу проверять, что решения по-прежнему удовлетворяют условию калибровки Лоренца, пожалуйста, прочитайте мой вопрос еще раз!), Более того, вопрос был изменен без видимой причины, и теперь обозначение неоднозначно, и это выглядит так, как будто я приравнивал скаляр к вектору в последнем уравнении. С уважением, что за бред?

Ответы (2)

Вы пытаетесь доказать правильность неправильных предположений.

Уравнение непрерывности и калибровочное уравнение Лоренца описывают то, что происходит в месте и времени источника, в то время как потенциалы, заданные запаздывающими интегралами Грина, описывают то, что наблюдатель измеряет вдали от места-времени источника. Таким образом, эти две пары уравнений не могут быть непосредственно подставлены одно в другое, так как не связаны напрямую.

Элегантное доказательство того, что условие Лоренца является прямым следствием уравнения непрерывности, можно найти в разделе 14-5 (Потенциал Герца) книги Вольфганга Панофски и Мельбы Филлипс «Классическое электричество и магнетизм».

В настоящее время это называется условием Лоренца , а не условием Лоренца.
Я не смог найти такого доказательства в разделе 14-5. Они говорят о том, что когда предполагается, что потенциалы задаются запаздывающими решениями волновых уравнений, вместе с уравнением неразрывности это подразумевает условие Лоренца. Но волновое уравнение и запаздывающие решения обычно выводятся при условии Лоренца, так что это круговое доказательство.

В учебнике Гриффитса «Введение в электродинамику» (третье издание) задача 10.8 звучит так: «Подтвердите, что запаздывающие потенциалы удовлетворяют калибровочному условию Лорена (t) z». Решение доступно в Интернете (поиск «введение в руководство по решению электродинамики david griffiths»). Сравнение решения Гриффитса с вашим показало, что первый и последний члены вашего последнего выражения не были уравнением непрерывности, как указал Хулио Морос в своем ответе.

Эквивалентность калибровки Лоренца и уравнения неразрывности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v