Концептуальный вопрос об объемной плотности тока и вывод уравнения неразрывности

Выражение для объемного интеграла плотности объемного заряда имеет вид

∫ В ( ∇ ⋅ Дж → ) г т "=" − г г т ∫ В р г т "=" − ∫ В ( ∂ р ∂ т ) г т

Я физически понимаю, что при вытекании заряда из дифференциального объема расхождение объемной плотности тока положительно и что объемная плотность заряда будет уменьшаться

Но мне нужно более четкое объяснение этих уравнений, как мы перешли от ∫ В ( ∇ ⋅ Дж → ) г т
к − г г т ∫ В р г т математически? Когда вы думаете об этом концептуально, это интуитивно понятно, но я говорю здесь о математике, а также о том, как мы пришли к − г г т ∫ В р г т к ∫ В ( ∂ р ∂ т ) г т

Не потому ли в этом случае р может зависит от положения? Может быть, мои вопросы тривиальны, но у меня нет сильного опыта в многомерном исчислении, я постараюсь изо всех сил понять, поэтому любое понимание будет оценено.

Ответы (1)

Рассмотрим поверхность С объем В , чистый ток, движущийся в объеме В является

(1) я "=" − ∫ С г 2 С ⋅ Дж

И здесь работает ваша интуиция: поскольку г С указывает наружу, если ток течет в объем, внутренний продукт отрицателен, поэтому вам нужен знак минус. И вы знаете, что ток просто

(2) я "=" г д ( т ) г т "=" г г т ∫ В г 3 р   р ( р , т )

где р это плотность заряда. Теперь обратите внимание, что вы интегрируете по координатам и берете производную по времени, поэтому эти две операции коммутируют, но когда вы меняете их местами, вам нужно учитывать, что величина, которую вы берете, является производной по времени ( р ) теперь зависит как от координат, так и от времени. Другими словами

(3) я "=" г г т ∫ В г 3 р   р ( р , т ) "=" ∫ В г 3 р   ∂ ∂ т р ( р , т )

Заменить (3) на (1)

(4) ∫ В г 3 р   ∂ ∂ т р ( р , т ) "=" − ∫ С г 2 С ⋅ Дж

Теперь применим теорему о расходимости

(5) ∫ В г 3 р   ∂ ∂ т р ( р , т ) "=" − ∫ В г 3 р ∇ ⋅ Дж

Именно то, что мне было нужно!
Концептуальный вопрос об объемной плотности тока и вывод уравнения неразрывности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v