Первая теорема Нётер и классическое доказательство сохранения электрического заряда

Под словом классический мы будем понимать$\hbar=0$, и мы будем использовать соглашения Ref. 1.

Плотность лагранжиана для теории Максвелла с различным содержанием вещества равна$^1$

$${\cal L} ~=~{\cal L}_{\rm Maxwell} + {\cal L}_{\rm matter} ,\tag{1}$$

$${\cal L}_{\rm Maxwell}~=~ -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\tag{2}$$

$${\cal L}_{\rm matter}~=~{\cal L}_{\rm matter}^{\rm QED}+{\cal L}_{\rm matter}^{\rm scalar QED} + \ldots,\tag{3}$$

$${\cal L}_{\rm matter}^{\rm QED} ~:=~ \overline{\Psi}( i\gamma^{\mu} D_{\mu}-m)\Psi ,\tag{4}$$

$${\cal L}_{\rm matter}^{\rm scalar QED}~:=~ -(D_{\mu}\phi)^{\dagger} D^{\mu}\phi -m^2\phi^{\dagger}\phi -\frac{\lambda}{4} (\phi^{\dagger}\phi)^2,\tag{5}$$

с ковариантной производной

$$D_{\mu}~=~d_{\mu}-ieA_{\mu}, \tag{6}$$ и с соглашением о знаках Минковского (-,+,+,+). (Здесь мы поленились обозначать различные массы материи $m$и обвинения $e$иначе.) Уравнения движения материи (eom) имеют вид

$$( i\gamma^{\mu} D_{\mu}-m)\Psi ~\stackrel{m}{\approx}~0, \qquad D_{\mu}D^{\mu}\phi~\stackrel{m}{\approx}~m^2\phi+\frac{\lambda}{2} \phi^{\dagger}\phi^2, \qquad \ldots.\tag{7}$$

($\stackrel{m}{\approx}$символ означает равенство по модулю материи eom, т. е. равенство на оболочке.)

Бесконечно малое глобальное калибровочное преобразование вне оболочки имеет вид

$$\delta A_{\mu} ~=~0, \qquad \delta\Psi~=~-i\epsilon \Psi, \qquad \delta\overline{\Psi}~=~i\epsilon \overline{\Psi},$$ $$\delta\phi~=~-i\epsilon \phi,\qquad \delta\phi^{\dagger}~=~i\epsilon \phi^{\dagger}, \qquad \ldots, \qquad\delta {\cal L} ~=~0,\tag{8}$$

где бесконечно малый параметр$\epsilon$не зависит от$x$.

Ток Нётер – это электрический$4$-Текущий$^2$

$$j^{\mu}~=~e\overline{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi - ie\{\phi^{\dagger} D^{\mu}\phi-(D^{\mu}\phi)^{\dagger}\phi\}+\ldots. \tag{9}$$

Первая теорема Нётер — это теорема о классической теории поля. Это дает уравнение неразрывности на оболочке$^3$

$$d_{\mu}j^{\mu}~\stackrel{m}{\approx}~0.\tag{10}$$

Отсюда и электрический заряд

$$Q~=~\int\! d^3x~ j^0\tag{11}$$

сохраняется на оболочке.

Использованная литература:

1. М. Средненицкий, QFT .

--

$^1$Отметим, что плотность лагранжиана материи${\cal L}_{\rm matter}$может зависеть от калибровочного поля$A_{\mu}$

$^2$Интересно, что электрический$4$-Текущий$j^{\mu}$зависит от калибровочного потенциала$A_{\mu}$в случае скалярной материи КЭД.

$^3$Обратите внимание, что приведенное выше доказательство уравнения неразрывности (10) с помощью первой теоремы Нётер (по запросу OP) никогда не использует уравнения Максвелла.