Как электрическое или магнитное поля содержат импульс?

Question

Как электрическое или магнитное поля содержат импульс?

юпилат13

Недавно я узнал, что электрическое и магнитное поля содержат как линейный, так и угловой импульсы, которые являются известными функциями электрического и магнитного полей в любой заданной точке пространства и времени.

Я не понимаю, как это происходит; не могли бы вы объяснить, как это работает? Связано ли это с фотонами, испускаемыми ускоряющими зарядами, или с силой Абрахама-Лоренца?

Эмилио Писанти

Связанный: физика.stackexchange.com/q/ 114466

Ответы (5)

Как электрическое или магнитное поля содержат импульс?

Связанный: физика.stackexchange.com/q/ 114466

Эмилио Писанти · Answer 1

С точки зрения фотонной картины это совсем не загадочно. Электромагнитная сила опосредована в ее квантово-механическом описании обменом фотонами. Они могут быть реальными, т. е. представлять реальные световые лучи, или виртуальными, что означает, что энергия для существования фотона была «заимствована» на небольшой промежуток времени, как это допускается принципом неопределенности Гейзенберга. Электростатические и магнитостатические поля состоят в квантовой картине из огромного количества виртуальных фотонов, летающих туда-сюда.

Каждый из этих фотонов несет определенный импульс. Они должны, потому что они будут сообщать силу заряженным частицам, которые поглощают или излучают их. Поскольку каждый фотон несет импульс, неудивительно, что поле в целом может содержать некоторый чистый импульс! Иногда это значение будет равно нулю — вклады от различных фотонов будут компенсироваться либо локально в каждой точке, либо глобально, как только будут учтены все точки, — но это не обязательно так. Таким образом, электромагнитное поле может нести импульс.

Это красивая и интуитивно понятная картина, но она опирается на очень экзотическую концепцию, так что я пойму, если она вас немного смущает. Более того, поскольку наличие импульса электромагнитного поля требуется в рамках классической электродинамики, хотелось бы также получить ответ, который не требует квантовой механики для объяснения. (Тщательно подумайте об этом последнем моменте — это не тривиальный аргумент.)

В конце концов, «имеет» поле импульс или нет, зависит от определения слова «иметь», которое является человеческой конструкцией. Строго говоря, верно то, что

можно организовать ситуации, когда заряженные частицы взаимодействуют таким образом, что их полный механический импульс не сохраняется, но как только все частицы снова разделены, их конечный полный импульс равен начальному.

Это дополняется тем, что

существует величина с единицами количества движения, которую можно вычислить по электрическому и магнитному полям в каждой точке и которая даст сохраняющуюся величину, если ее добавить к полному механическому импульсу частиц.

Важно отметить, что сохранение импульса не является заданным; это свойство физических теорий, которым может обладать или не обладать любая конкретная теория. (Как оказалось, все физические теории, которые мы наблюдаем в реальном мире, действительно соблюдают его в той или иной форме, но это не гарантируется априори.)

Одним из примеров этого является ньютоновская механика с силами, подчиняющимися третьему закону Ньютона. В этом случае теоремой теории является сохранение полного механического импульса.

Другой пример — теорема Нётер, гарантирующая закон сохранения импульса в динамических системах определенного класса, законы которых трансляционно-инвариантны. Для некоторых систем эта инвариантность существует и, следовательно, сохраняется импульс; для других это не так, и импульс не сохраняется.

Для заряженных механических частиц, взаимодействующих электромагнитным образом, третий закон Ньютона не выполняется, поэтому наша старая теорема неприменима (и на самом деле ее заключение неверно, поскольку механический импульс не сохраняется). Однако это не означает, что мы не можем найти более умную и сложную теорему, которая подразумевает закон сохранения.

Поэтому нужно немного посидеть и поколдовать над математикой, но теорема действительно доказуема. По сути, то, что вы делаете,

запишите полную силу, действующую на механические частицы,
выразить его через электромагнитные поля, заряды и токи,
использовать уравнения Максвелла для преобразования зарядов и токов в электрические и магнитные поля и, таким образом,
вывести выражение для полной механической силы, действующей на систему, через интеграл от некоторой функции электрического и магнитного полей в каждой точке.
Затем эту величину необходимо преобразовать в полную производную по времени от более простого выражения, которое будет интерпретироваться как импульс электромагнитного поля. Это возможно, но остается остаток, который зависит от того, какой том вы интегрируете.
Затем можно доказать, что для локализованных систем этот остаток равен нулю. Когда это происходит, общий динамический импульс — механический плюс электромагнитный — сохраняется.

В общем, я бы не советовал вам пытаться делать эти вычисления до тех пор, пока вы не пройдете солидные курсы по электромагнетизму и векторному исчислению в университете, иначе вы просто ушибетесь об это. Вместо этого сосредоточьтесь на физике, на качественном уровне.

Если у вас есть более конкретные вопросы, я буду рад попытаться ответить, но если вам нужны подробности по математике, вам нужно указать, какой у вас опыт, чтобы мы могли дать ответы, которые вы поймете.

Фаусто Веццаро · Answer 2

Я покажу вам, "как это бывает", "как это работает", но на это нужно время. Это очень интересный вопрос, и мне жаль видеть, что книги делятся на два набора: основной, который просто перескакивает через проблему (возможно, упоминая ее или сообщая формулу, говорящую, что расчеты скучны, хотя они увлекательны); и продвинутые, которые, очевидно, имеют дело с такой важной проблемой, но решают все с помощью нескольких символов, используя такую сложную математику, что их трудно понять менее способным читателям (вот я). Я считаю, что лучший компромисс, как всегда, Гриффитс (из которого я беру большую часть этого ответа). Но на этот раз я хочу критиковать и его книгу. Он поставил читателя перед травмирующим расхождением матрицы, не подготовив его к обращению с таким объектом. Вот почему я Я добавлю в этот ответ раздел под названием «Альтернативная теорема о расходимости». Здесь я всегда буду использовать декартовы координаты, просто констатирую, что это самый простой способ увидеть, почему существует плотность импульса электромагнитного поля, и вычислить, насколько она велика. Эти расчеты длинные, но если читатель поверит мне, он/она будет удовлетворен.

Импульсная плотность тока

Необходимо ввести понятие импульсной плотности тока. Как плотность тока $\mathbf{J}$ вектор такой, что $\mathbf{J} \cdot d\mathbf{a} dt$ дает количество заряда, прошедшего через $d\mathbf{a}$ в интервале $t \to t+dt$ ; плотность импульсного тока - это матрица такая, что ${\sf{M}} \cdot d\mathbf{a} dt$ дает количество импульса, протекающего через $d\mathbf{a}$ в интервале $t \to t+dt$ . Заряд является скаляром, поэтому плотность тока является вектором, но импульс является вектором, поэтому кажется разумным ввести матрицу для описания его плотности тока (точечный продукт с вектором дает вектор). В этом определении я не говорю, должен ли я делать ${\sf{M}} \cdot d\mathbf{a}$ или $d\mathbf{a} \cdot {\sf{M}}$ , но это то же самое: мы увидим, что в декартовой координате плотность тока импульса представляет собой симметричную матрицу.

Интересный способ описания сохранения импульса

Предположим, что внутренний объем $V$ движущиеся заряженные частицы в электромагнитном поле (не обязательно все задается самим зарядом). Давай будем $d\mathbf{p}$ изменение, во время $dt$ , импульса этих тел в объем $V$ . Если мы сможем написать это уравнение,

\frac{г п}{г т} "=" - \frac{г}{г т} \int_{В} С г т - \oint_{С} Д \cdot г а

$\begin{equation} \frac{d\mathbf{p}}{dt} = - \frac{d}{dt} \int_V \mathbf{C} d \tau - \oint_S {{\sf{D}}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ тогда единственная разумная интерпретация состоит в том, что

C

$\mathbf{C}$ плотность импульса поля и

D

${\sf{D}}$ плотность импульсного тока. Фактически таким образом приведенное выше уравнение говорит о том, что изменение импульса поля в интервале

t \to t + d t

$t \to t+dt$ внутри объема (т.

d (\int_{V} C d τ)

$d \left( \int_V \mathbf{C} d \tau \right)$ ) противоположно изменению импульса тел (т.е.

d p

$d\mathbf{p}$ ) минус импульс поля, истекший через поверхность

S

$S$ (т.е.

\oint_{S} D \cdot d a d t

$\oint_S {{\sf{D}}} \cdot d \mathbf{a} dt$ ). Мы исключаем возможность того, что тела пересекают поверхность

S

$S$ во время

d t

$dt$ , в противном случае мы должны обобщить уравнение, но нам не нужно этого делать, если мы заинтересованы в более простом вычислении импульса электромагнитного поля. Не торопитесь, чтобы подумать об этом уравнении и этих соображениях и посмотреть, насколько они разумны. Тогда продолжайте.

Определение вектора Пойнтинга и тензора Максвелла

Позже мы будем использовать вектор, который мы определили здесь (представленный Джоном Генри Пойнтингом в 1884 году).

С "=" \frac{Е \times Б}{{мю}_{0}}

$\begin{equation} \mathbf{S} = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{\mu_0} \end{equation}$

Позвольте мне представить эту матрицу, на данный момент это может показаться беспорядочным, но позже вы увидите, что мы вводим это, чтобы избежать путаницы и выразить теорему элегантным способом. Тензор Максвелла ${\sf{T}}$ описывается

Т_{я Дж} "=" ϵ_{0} (Е_{я} Е_{Дж} - \frac{1}{2} {дельта}_{я Дж} Е^{2}) + \frac{1}{{мю}_{0}} (Б_{я} Б_{Дж} - \frac{1}{2} {дельта}_{я Дж} Б^{2})

$\begin{equation} T_{ij} = \epsilon_0 \left( E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2 \right) +\frac{1}{\mu_0} \left( B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2 \right) \end{equation}$ где индекс

i

$i$ и

j

$j$ относится к трем координатам

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ (так что всего тензор имеет 9 компонент: все возможные комбинации

T_{x x}

$T_{xx}$ ,

T_{x y}

$T_{xy}$ ,

T_{x z}

$T_{xz}$ ,

T_{y x}

$T_{yx}$ и др.) и

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ это дельта Кронекера. В явном виде мы могли бы написать (обратите внимание, что для получения этого ниже мы должны заменить квадрат поля в определении суммой квадратов компонентов)

Альтернативная теорема о расходимости

Учитывая симметричное матричное поле ${\sf{M}}$ , определяемый в объеме $V$ окруженный поверхностью $S$ , у нас есть

\int_{В} (\nabla \cdot М) г т "=" \oint_{С} М \cdot г а

$\begin{equation} \int_V (\nabla \cdot {\sf{M}}) d \tau = \oint_S {\sf{M}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ Под матричным полем понимается аналогичное векторному полю, но с матрицами (каждый элемент является функцией

(x, y, z, t)

$(x,y,z,t)$ ). Аналогия с обычной теоремой о расходимости сильна (обратите внимание, что

\nabla \cdot

$\nabla \cdot$ уменьшить на единицу размер объекта, к которому мы его применяем). Слева мы делаем объемный интеграл произведений между векторным полем и бесконечно малыми объемами, справа мы делаем поверхностный интеграл произведений между матричным полем и бесконечно малыми поверхностными векторами. С обеих сторон у нас есть бесконечная сумма бесконечно малых векторов: конечный вектор.

Доказательство альтернативной теоремы о расходимости

Доказательство этой альтернативной теоремы о расходимости аналогично доказательству обычной теоремы о расходимости. Предположим для простоты, что объем $V$ это параллелепипед $(a<x<b, c<y<d, e<z<f)$ . Поток матричного поля ${\sf{M}}$ через грань, ортогональную $x$ ось

\int_{е}^{ф} \int_{с}^{г} М (а, у, г) \cdot [\begin{matrix} - г у г г \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + \int_{е}^{ф} \int_{с}^{г} М (б, у, г) \cdot [\begin{matrix} г у г г \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{equation} \int_e^f \int_c^d {\sf{M}} (a,y,z) \cdot \begin{bmatrix} -dydz \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \int_e^f \int_c^d {\sf{M}} (b,y,z) \cdot \begin{bmatrix} dydz \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{equation}$ где мы использовали

\hat{x} d y d z

$\mathbf{\hat{x}} dy dz$ как вектор-столбец (здесь «шляпа» означает версор). Если

M_{1} (x, y, z)

$\mathbf{M}_1 (x,y,z)$ это векторное поле, которое мы получаем, взяв первый столбец матрицы

M

${\sf{M}}$ , мы можем записать поток через две поверхности таким образом

\int_{е}^{ф} \int_{с}^{г} [М_{1} (б, у, г) - М_{1} (а, у, г)] г у г г

$\begin{equation} \int_e^f \int_c^d [ \mathbf{M}_1 (b,y,z) - \mathbf{M}_1 (a,y,z) ] dydz \end{equation}$ Под интегралом понимается вектор, который можно записать таким образом

[\begin{matrix} М_{Икс Икс} (б, у, г) - М_{Икс Икс} (а, у, г) \\ М_{у Икс} (б, у, г) - М_{у Икс} (а, у, г) \\ М_{г Икс} (б, у, г) - М_{г Икс} (а, у, г) \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} M_{xx} (b,y,z) - M_{xx} (a,y,z) \\ M_{yx} (b,y,z) - M_{yx} (a,y,z) \\ M_{zx} (b,y,z) - M_{zx} (a,y,z) \end{bmatrix} \end{equation}$ И, используя фундаментальную теорему исчисления, мы можем написать

[\begin{matrix} \int_{а}^{б} \frac{\partial М_{Икс Икс} (Икс, у, г)}{\partial Икс} г Икс \\ \int_{а}^{б} \frac{\partial М_{у Икс} (Икс, у, г)}{\partial Икс} г Икс \\ \int_{а}^{б} \frac{\partial М_{г Икс} (Икс, у, г)}{\partial Икс} г Икс \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \int_a^b \frac{\partial M_{xx} (x,y,z) }{\partial x} dx \\ \int_a^b \frac{\partial M_{yx} (x,y,z) }{\partial x} dx \\ \int_a^b \frac{\partial M_{zx} (x,y,z) }{\partial x} dx \end{bmatrix} \end{equation}$ Который

\int_{a}^{b} \frac{\partial M_{1}}{\partial x} d x

$\int_a^b \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} dx$ . Подставляя, мы видим, что поток через две поверхности можно записать

\int_{V} \frac{\partial M_{1}}{\partial x} d V

$\int_V \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} dV$ . Аналогично можно найти поток через другие пары сторон: полный поток через параллелепипед равен

\int_{В} (\frac{\partial М_{1}}{\partial Икс} + \frac{\partial М_{2}}{\partial у} + \frac{\partial М_{3}}{\partial г}) г В

$\begin{equation} \int_V \left( \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{M}_2}{\partial y} + \frac{\partial \mathbf{M}_3}{\partial z} \right) dV \end{equation}$ Чтобы закончить доказательство, нам нужно только показать, что подынтегральная функция равна вектору, который мы символически записали как

\nabla \cdot M

$\nabla \cdot {\sf{M}}$ . То есть мы должны показать, что

\frac{\partial М_{1}}{\partial Икс} + \frac{\partial М_{2}}{\partial у} + \frac{\partial М_{3}}{\partial г} "=" [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial Икс} & \frac{\partial}{\partial у} & \frac{\partial}{\partial г} \end{matrix}] [\begin{array}{ccc} М_{1} & М_{2} & М_{3} \end{array}]

$\begin{equation} \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{M}_2}{\partial y} + \frac{\partial \mathbf{M}_3}{\partial z} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \left[ \begin{array}{c|c|c} & & \\ \displaystyle \mathbf{M}_1 & \displaystyle \mathbf{M}_2 & \displaystyle \mathbf{M}_3 \\ & & \\ \end{array} \right] \end{equation}$ На первый взгляд это кажется неправильным, но

M

${\sf{M}}$ симметричен по условию, поэтому уравнение работает. Если вы скептически относитесь к этому выводу, вот доказательство. В левом члене у нас есть сумма трех векторов:

[\frac{\partial М_{Икс Икс}}{\partial Икс} + \frac{\partial М_{Икс у}}{\partial у} + \frac{\partial М_{Икс г}}{\partial г}, \frac{\partial М_{у Икс}}{\partial Икс} + \frac{\partial М_{у у}}{\partial у} + \frac{\partial М_{у г}}{\partial г}, \frac{\partial М_{г Икс}}{\partial Икс} + \frac{\partial М_{г у}}{\partial у} + \frac{\partial М_{г г}}{\partial г}]

$\begin{equation} \left[ \frac{\partial M_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{xz}}{\partial z} , \frac{\partial M_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{yz}}{\partial z} , \frac{\partial M_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zz}}{\partial z} \right] \end{equation}$ в то время как во втором члене у нас есть произведение между вектором (как и в обычном векторном анализе, полезно использовать символизм обработки

\nabla

$\nabla$ как вектор) и матрица:

[\frac{\partial М_{Икс Икс}}{\partial Икс} + \frac{\partial М_{у Икс}}{\partial у} + \frac{\partial М_{г Икс}}{\partial г}, \frac{\partial М_{Икс у}}{\partial Икс} + \frac{\partial М_{у у}}{\partial у} + \frac{\partial М_{г у}}{\partial г}, \frac{\partial М_{Икс г}}{\partial Икс} + \frac{\partial М_{у г}}{\partial у} + \frac{\partial М_{г г}}{\partial г}]

$\begin{equation} \left[ \frac{\partial M_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zx}}{\partial z} , \frac{\partial M_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zy}}{\partial z} , \frac{\partial M_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zz}}{\partial z} \right] \end{equation}$ если матрица симметрична (

M_{i j} = M_{j i}

$M_{ij}=M_{ji}$ ) эти два выражения совпадают. Это показывает, что предыдущее уравнение является тождеством, и доказательство закончено.

Расчет импульса электромагнитного поля

Электромагнитная сила, действующая на заряды в объеме $V$ является

Ф "=" \int_{В} (Е + ты \times Б) р г т "=" \int_{В} (р Е + Дж \times Б) г т

$\begin{equation} \mathbf{F} = \int_V (\mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B}) \rho d \tau = \int_V ( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} ) d \tau \end{equation}$ сила на единицу объема равна

ф "=" р Е + Дж \times Б

$\begin{equation} \mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} \end{equation}$ Используя уравнения Максвелла, можно исключить источники в пользу поля. Я покажу вам, как это сделать сейчас. Используя первое и последнее уравнение Максвелла, мы имеем

ф "=" ϵ_{0} (\nabla \cdot Е) Е + (\frac{1}{{мю}_{0}} \nabla \times Б - ϵ_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \times Б

$\begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_0 ( \nabla \cdot \mathbf{E} ) \mathbf{E} + \left( \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \times \mathbf{B} \end{equation}$ Сейчас,

\frac{\partial}{\partial т} (Е \times Б) "=" (\frac{\partial Е}{\partial т} \times Б) + (Е \times \frac{\partial Б}{\partial т})

$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \left( \frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t} \times \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{E} \times \frac{\partial \mathbf{B} }{\partial t} \right) \end{equation}$ Таким образом, используя закон Фарадея, мы можем перестроить таким образом

\frac{\partial Е}{\partial т} \times Б "=" \frac{\partial}{\partial т} (Е \times Б) + Е \times (\nabla \times Е)

$\begin{equation} \frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t} \times \mathbf{B} = \frac{\partial }{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \end{equation}$ Замена у нас есть

ф "=" ϵ_{0} [(\nabla \cdot Е) Е - Е \times (\nabla \times Е)] - \frac{1}{{мю}_{0}} [Б \times (\nabla \times Б)] - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial т} (Е \times Б)

$\begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \right] -\frac{1}{\mu_0} \left[ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \right] - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{equation}$ Правильно, чтобы сделать вещи более симметричными, мы можем добавить термин

\frac{1}{μ_{0}} (\nabla \cdot B) B

$\frac{1}{\mu_0} (\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B}$ (то же самое: магнитное поле соленоидальное). Теперь обратите внимание, что применение к тому же вектору

A

$\mathbf{A}$ векторная идентичность

\nabla (А \cdot Б) "=" А \times (\nabla \times Б) + Б \times (\nabla \times А) + (А \cdot \nabla) Б + (Б \cdot \nabla) А

$\begin{equation} \nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + ( \mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{B} + ( \mathbf{B} \cdot \nabla )\mathbf{A} \end{equation}$ позволит нам написать

- А \times (\nabla \times А) "=" - \frac{1}{2} \nabla (А^{2}) + (А \cdot \nabla) А

$\begin{equation} - \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) = - \frac{1}{2} \nabla (A^2) + (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{A} \end{equation}$ Все это позволяет нам записать предыдущее уравнение таким образом

\begin{aligned} ф "=" & ϵ_{0} [(\nabla \cdot Е) Е + (Е \cdot \nabla) Е] - \frac{1}{{мю}_{0}} [(\nabla \cdot Б) Б + (Б \cdot \nabla) Б] \\ - \frac{1}{2} \nabla (ϵ_{0} Е^{2} + \frac{1}{{мю}_{0}} Б^{2}) - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial т} (Е \times Б) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \mathbf{f} = & \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + (\mathbf{E} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \right] - \frac{1}{\mu_0} \left[ (\nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla ) \mathbf{B} \right] \\ & - \frac{1}{2} \nabla \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{split} \end{equation}$ Несмотря на симметрию, это выражение безобразно. Красота царит в фундаментальном законе природы, поэтому должна быть возможность написать уравнение лучше и яснее. Нам на помощь приходит тензор Максвелла, который мы написали ранее, и идея использовать оператор

\nabla

$\nabla$ как если бы это был вектор. Выполнение скалярного произведения между

\nabla

$\nabla$ и тензор Максвелла получаем второй член написанного выше уравнения (меньше члена с производной по времени)

\begin{aligned} \nabla \cdot Т "=" & ϵ_{0} [(\nabla \cdot Е) Е + (Е \cdot \nabla) Е] - \frac{1}{{мю}_{0}} [(\nabla \cdot Б) Б + (Б \cdot \nabla) Б] \\ - \frac{1}{2} \nabla (ϵ_{0} Е^{2} + \frac{1}{{мю}_{0}} Б^{2}) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \nabla \cdot {\sf{T}} = & \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + (\mathbf{E} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \right] - \frac{1}{\mu_0} \left[ (\nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla ) \mathbf{B} \right] \\ & - \frac{1}{2} \nabla \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) \end{split} \end{equation}$ Проверим, что это правда: будем осторожны на единственном

x

$x$ координата (по причинам симметричности другие координаты будут работать).

x

$x$ координата второго члена приведенного выше уравнения равна

\begin{aligned} ϵ_{0} [(\frac{\partial Е_{Икс}}{\partial Икс} + \frac{\partial Е_{у}}{\partial у} + \frac{\partial Е_{г}}{\partial г}) Е_{Икс} + Е_{Икс} \frac{\partial Е_{Икс}}{\partial Икс} + Е_{у} \frac{\partial Е_{Икс}}{\partial у} + Е_{г} \frac{\partial Е_{Икс}}{\partial г}] \\ + \frac{1}{{мю}_{0}} [(\frac{\partial Б_{Икс}}{\partial Икс} + \frac{\partial Б_{у}}{\partial у} + \frac{\partial Б_{г}}{\partial г}) Б_{Икс} + Б_{Икс} \frac{\partial Б_{Икс}}{\partial Икс} + Б_{у} \frac{\partial Б_{Икс}}{\partial у} + Б_{г} \frac{\partial Б_{Икс}}{\partial г}] \\ - \frac{ϵ_{0}}{2} \frac{\partial (Е_{Икс}^{2} + Е_{у}^{2} + Е_{г}^{2})}{\partial Икс} - \frac{1}{2 {мю}_{0}} \frac{\partial (Б_{Икс}^{2} + Б_{у}^{2} + Б_{г}^{2})}{\partial Икс} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} & \epsilon_0 \left[ \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) E_x + E_x \frac{\partial E_x}{\partial x} + E_y \frac{\partial E_x}{\partial y} + E_z \frac{\partial E_x}{\partial z} \right] \\ & + \frac{1}{\mu_0} \left[ \left( \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \right) B_x + B_x \frac{\partial B_x}{\partial x} + B_y \frac{\partial B_x}{\partial y} + B_z \frac{\partial B_x}{\partial z} \right] \\ & - \frac{\epsilon_0}{2} \frac{\partial (E_x^2 + E_y^2 + E_z^2)}{\partial x} - \frac{1}{2 \mu_0} \frac{\partial (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2)}{\partial x} \end{split} \end{equation}$ В то время

x

$x$ координата первого члена (т.е. «скалярное произведение» между

\nabla

$\nabla$ и первый столбец тензора Максвелла равен)

\begin{aligned} \frac{ϵ_{0}}{2} \frac{\partial (Е_{Икс}^{2} - Е_{у}^{2} - Е_{г}^{2})}{\partial Икс} + \frac{1}{2 {мю}_{0}} \frac{\partial (Б_{Икс}^{2} - Б_{у}^{2} - Б_{г}^{2})}{\partial Икс} \\ + ϵ_{0} \frac{\partial (Е_{Икс} Е_{у})}{\partial у} + \frac{1}{{мю}_{0}} \frac{\partial (Б_{Икс} Б_{у})}{\partial у} - ϵ_{0} \frac{\partial (Е_{Икс} Е_{г})}{\partial г} + \frac{1}{{мю}_{0}} \frac{\partial (Б_{Икс} Б_{г})}{\partial г} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} & \frac{\epsilon_0}{2} \frac{\partial (E_x^2 - E_y^2 - E_z^2)}{\partial x} + \frac{1}{2 \mu_0} \frac{\partial (B_x^2 - B_y^2 - B_z^2)}{\partial x} \\ & + \epsilon_0 \frac{ \partial ( E_x E_y)}{\partial y} + \frac{1}{\mu_0} \frac{ \partial ( B_x B_y)}{\partial y} - \epsilon_0 \frac{ \partial ( E_x E_z)}{\partial z} + \frac{1}{\mu_0} \frac{ \partial ( B_x B_z)}{\partial z} \end{split} \end{equation}$ Читатель может легко проверить, что два члена равны (для простоты из-за симметрии мы можем сосредоточиться только на одном поле, например

E

$E$ ). Теперь мы готовы написать «уродливое» уравнение красиво и компактно:

ф "=" - ϵ_{0} {мю}_{0} \frac{\partial С}{\partial т} + \nabla \cdot Т

$\begin{equation} \mathbf{f} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} + \nabla \cdot {\sf{T}} \end{equation}$ где мы также использовали вектор Пойнтинга. Эксплуатация

c = \frac{1}{\sqrt{ϵ_{0} μ_{0}}}

$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$ и интегрируя по объему, мы имеем

\frac{г п}{г т} "=" - \frac{г}{г т} \int_{В} \frac{С}{с^{2}} г т + \oint_{С} Т \cdot г а

$\begin{equation} \frac{d\mathbf{p}}{dt} = - \frac{d}{dt} \int_V \frac{\mathbf{S}}{c^2} d \tau +\oint_S {\sf{T}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ где мы использовали «Теорему об альтернативной дивергенции». Теперь вернемся к тому, что я написал в разделе «Интересный способ описания сохранения импульса», и задумаемся: доказательство окончено:

Плотность импульса: $\frac{\mathbf{S}}{c^2}$
Импульсная плотность тока: $- {\sf{T}}$

Почему тензор Максвелла не определяется с обратным знаком? Вероятно, это связано с неудачной исторической условностью. Если мы хотим выразить импульс поля как функцию полей, мы, очевидно, имеем. Это можно использовать, чтобы показать, что для электромагнитных волн мы имеем $E=pc$ (это не тот случай, когда это та же самая связь между энергией и импульсом, которую мы имеем для экстремально релятивистских частиц).

Последний комментарий

Обратите внимание, что то, что мы нашли, страдает от абстракции и создает проблемы: эта теорема об импульсе (как и теорема Пойнтинга) является общей не только для электромагнитной волны: мы не выдвигали никакой специальной гипотезы о природе поля (единственная, что поля подчиняются уравнениям Максвелла). Это приводит к очень интересным (но и очень сложным!) проблемам, связанным со скрытым импульсом. Как мы часто видим в физике, каждый раз, когда вы решаете задачу, вы сталкиваетесь с более сложными проблемами и странной (и поэтому интересной) точкой размышления над большой головоломкой.

Большое спасибо за ваш дотошный ответ. Как видите, я задал этот вопрос добрых пять лет назад, когда только что закончил среднюю школу :') Я надеюсь, что этот ответ будет полезен другим пользователям, которые наткнутся на этот пост. Для такого читателя я хотел бы указать, что, хотя дифференциальное исчисление Гриффитса иногда может быть абстрактным, лекции Фейнмана дают очень хорошую интуицию в этом отношении. Кроме того, в лекциях Фейнмана также хорошо обсуждаются довольно тонкие вопросы, такие как уникальность выражений для импульса/энергии поля, упомянутый вами парадокс скрытого импульса и т.д.
Я нашел эту «альтернативную» теорему о дивергенции в книге Cengel-Cimbala по гидромеханике, где она называется расширенной теоремой о дивергенции. Оказывается, он также очень полезен в механике жидкости: он приводит к уравнению Коши. Жаль, что этой теореме не уделяется должного внимания в литературе. Я впервые нашел это в книге спустя годы после того, как убедился в этом на себе, какая пустая трата времени! До отвращения говорят об обычной теореме о расходимости, но никто не говорит о расширенной.

Дэниел Шаперо · Answer 3

Раздел 6.7 Джексона дает хорошее объяснение.

Электромагнитное поле может изменить механическую энергию, линейный импульс и угловой момент совокупности зарядов. В частности, изменение импульса определяется законом силы Лоренца

$\mathbf F = q(\mathbf E +\mathbf v\times\mathbf B)$ ,

или, для непрерывного распределения зарядов, плотность силы равна

$\mathbf f = \rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B$ .

Однако эти заряды имеют собственные электромагнитные поля. Изменяя линейный импульс зарядов, их электромагнитные поля меняются. Позволять $\mathbf P$ – плотность механического импульса зарядов; путем некоторых утомительных вычислений с использованием последнего уравнения, уравнений Максвелла и набора векторных расчетных тождеств можно показать, что

$\frac{d}{dt}\left(\mathbf P+\frac{\mathbf E\times \mathbf B}{c^2}\right) =$ расходимость тензора напряжений Максвелла.

Если поля стремятся к нулю на бесконечности достаточно быстро, вы можете проинтегрировать это уравнение по всему пространству, и правая часть будет стремиться к нулю по теореме о расходимости. Таким образом, общий механический импульс + что-то является сохраняющейся величиной. Разумно предположить, что это «что-то», $\mathbf E\times \mathbf B/c^2$ , - импульс электромагнитного поля.

Тот же анализ можно провести, исследуя механический крутящий момент на сборке зарядов, чтобы найти электромагнитный угловой момент.

Наконец, вы можете взглянуть на это на несколько более абстрактном уровне. В классической механике вы можете использовать теорему Нётер, чтобы вывести сохранение энергии, линейного количества движения и углового момента, используя инвариантность лагранжиана соответственно к перемещениям во времени и пространстве и к вращениям. Лагранжиан для электромагнитного поля также инвариантен к этим преобразованиям; результирующими сохраняющимися величинами являются энергия поля, линейный импульс и угловой момент.

JumpArtist · Answer 4

Угловой момент следует за существованием линейного количества движения. Фунт линейного импульса тогда?

Предлагаю следующую точку зрения без математики.

Хорошо известный экспериментальный факт, что свет обладает механическими свойствами, восходит к принципу сохранения энергии вместе с принципом относительности.

Априори существуют разные способы сохранения энергии. Например: то, что уничтожено в точке А, может мгновенно появиться где угодно в точке Б, так что сохраняется полная энергия во Вселенной.

Однако понятие «мгновенно» относительно наблюдателя, и другой, находящийся в движущейся системе отсчета, не увидит два события одновременно, и для него будет нарушен принцип сохранения энергии. Следовательно, чтобы удовлетворить также понятия, лежащие в основе принципа относительности, электромагнитная энергия не может сохраняться глобально, а локально, а это означает, что то, что исчезло в А, должно течь через бесконечно малые границы, окружающие А, в этом суть теоремы Пойнтинга. И этот поток энергии, вкратце, представляет собой линейный импульс. В теории относительности импульс (пространство) и энергия (время) являются двумя составляющими одной и той же физической величины (четырехвектор энергии-импульса).

пользователь 280564 · Answer 5

Это можно довольно легко продемонстрировать. Предположим, у нас есть два конденсатора в коробке. Мы заряжаем один полностью, оставляя другой разряженным. Затем мы разряжаем первый, используем его энергию для питания лазера и используем импульс от лазера для получения энергии для зарядки другого. Потому что $E=mc^2$ , центр масс ящика изменился относительно фиксированной отметки на ящике. Центр масс фактически не может двигаться из-за сохранения импульса, поэтому должна быть отдача передающего лазера, которая передается на коробку.

Как электрическое или магнитное поля содержат импульс?

юпилат13

Эмилио Писанти

Ответы (5)

Эмилио Писанти

Фаусто Веццаро

Импульсная плотность тока

Интересный способ описания сохранения импульса

Определение вектора Пойнтинга и тензора Максвелла

Альтернативная теорема о расходимости

Доказательство альтернативной теоремы о расходимости

Расчет импульса электромагнитного поля

Последний комментарий

юпилат13

Фаусто Веццаро

Дэниел Шаперо

JumpArtist

пользователь 280564

Проблемы с законом силы Лоренца: несовместимость со специальной теорией относительности и сохранением импульса?

Сохраняется ли канонический импульс при движении частицы в магнитном поле?

Скрытый импульс

Первая теорема Нётер и классическое доказательство сохранения электрического заряда

Третий закон Ньютона в магнитных полях

Сила Лоренца и кажущееся нарушение сохранения импульса полезны для однонаправленной силы?

Всегда ли верны эти законы сохранения?

Нарушение закона сохранения момента количества движения

Сомнения в тензоре напряжений Максвелла

Сохранение импульса при движущемся заряде