Эквивариантные когомологии и последовательность Майера-Виеториса

Я читаю эту статью о топологической теории поля и немного запутался в том, как он вычисляет эквивариантные когомологии$S^2$относительно$\mathrm{U}(1)$, т.е.$H^\bullet_{S^1}(S^2)$. Вы можете найти это на стр. 92 - 93. В частности, есть две проблемы:

1. Мне понятен смысл ур. (10.24), т.е. согласен на то$k$класс th-когомологий для$k\geq 2$. Но я не понимаю, как найти это для$k=1$. Мое рассуждение выглядит следующим образом. Я считаю точную последовательность (во избежание громоздких обозначений буду писать$H^\bullet$вместо$H^\bullet_{S^1}$) $$0\rightarrow H^0(S^2) \rightarrow H^0(U_1)\oplus H^0(U_2) \rightarrow H^0(U_1\cap U_2) \rightarrow H^1(S^2) \rightarrow H^1(U_1)\oplus H^1(U_2) \rightarrow 0.$$ Затем, как объяснено в начале страницы 93,$H^\bullet(U_i) = \mathbb{C}[\Omega]$, тем более что$U_1\cap U_2$представляет собой деформационный ретракт$S^1$на которой$S^1$действует свободно, поэтому$H^0(U_1\cap U_2) = \mathbb{C}[\Omega]$. Поэтому я остаюсь с: $$0\rightarrow H^0(S^2) \rightarrow \mathbb{C}[\Omega]\oplus\mathbb{C}[\Omega] \rightarrow \mathbb{C}[\Omega] \rightarrow H^1(S^2) \rightarrow \mathbb{C}[\Omega]\oplus \mathbb{C}[\Omega] \rightarrow 0.$$ Теперь, это правильно? Как я могу вывести$H^0$и$H^1$?
2. Почему в (10.25) он указывает$f(0) = g(0)$? Откуда это состояние?

Более того, в дальнейшем он также пытается вычислить те же когомологии с помощью модели Картана. Здесь мне неясно, что он говорит, что класс когомологий