Что именно мы подразумеваем под «топологическим объектом» в физике?

Я думаю, что самым широким определением топологического объекта будет любой объект, соответствующие характеристики которого не зависят ни от какой метрики. Вместо этого он может зависеть от топологических свойств, таких как размерность, границы, компактность, связность (связные или непересекающиеся компоненты), связность (односвязность или многосвязность), ориентируемость (например, лента Мёбиуса или сфера) и т. д. Это довольно абстрактное определение, и оно определенно подразумевало бы разные толкования в зависимости от контекста. Термин «топологический объект» может относиться либо к математическому термину, входящему в теорию на фундаментальном уровне (например, к топологическому тета-терму), либо к физическому объекту, являющемуся «выходом» теории.

В контексте теории поля (которая, как мне кажется, вас интересует) топологические объекты представляют собой конечные (плотность энергии) решения нелинейных (классических) уравнений поля, устойчивость которых гарантируется некоторым сохраняющимся топологическим зарядом или инвариантом. Они являются расширенными решениями в том смысле, что они локализованы в конечной области пространства и, кроме того, ведут себя как частицы.

В этом смысле топологические объекты не являются простой математической конструкцией. Они естественным образом возникают в некоторых теориях, например в нелинейных теориях и теориях вырождения вакуума, и играют важную роль в таких областях, как теория поля, физика конденсированного состояния и астрофизика/космология.

Отличие топологического решения (объекта) от нетопологического заключается в механизме, обеспечивающем устойчивость каждого решения. Например, существуют решения нелинейных уравнений поля (например, уравнения КдФ), которые также являются устойчивыми расширенными решениями, однако они нетопологичны. Их устойчивость вытекает из теоремы Нётер и не связана с каким-либо топологическим свойством поля.

Теперь дело доходит до того, что мы должны понять связь между топологическими инвариантами и полями. Другими словами, как топология полей (непрерывных деформаций) может свидетельствовать о ее устойчивости?

Чтобы понять ответ на поставленный выше вопрос, рассмотрим простейшее топологическое решение в релятивистской теории поля — излом в$\phi^4$теория в$1+1$пространство-время. На рисунке ниже показан потенциал$V(\varphi)$, конфигурация статического поля$\varphi(x)$и плотность энергии$\epsilon(x)$топологического решения этой теории

Если бы это решение было неустойчивым, то оно распалось бы в вакуум, то есть конфигурация поля непрерывно деформировалась бы (проявлялась топология) в прямую либо на$+v$или на$-v$. Но так как для перемещения любого бесконечно малого куска поля из$-v$к$+v$нужно пройти через конечный энергетический барьер (удар в потенциале), и затраты энергии на это для всей конфигурации поля бесконечны. Никакое неособое преобразование не может деформировать это топологическое решение в вакуум, чтобы оно стало устойчивым.

Как мы можем перевести физический аргумент в так называемые топологические инварианты? Топологические решения в теории поля обычно классифицируются в соответствии с гомотопическими классами вакуумного многообразия (множество значений среднего поля, при котором скалярный потенциал равен нулю). В случае перегибов интересует$π_0(\mathcal M)$, набор компонентов пути$\mathcal M$. Этот объект просто говорит о том, соединен ли вакуумный коллектор или, другими словами, состоит ли вакуум из непересекающихся частей. Обратите внимание на наш пример, что это именно то, что будет иметь значение для стабильности решения. Вакуумный коллектор состоит из двух непересекающихся частей,$\pm v$, и тот факт, что скалярное поле асимптотически интерполирует эти две точки, предотвращает его распад до тривиального решения.

Другие топологические решения имеют аналогичное описание. Для вихрей (трубок потока или космических струн) нас интересует фундаментальная группа$\pi_1(\mathcal M)$который классифицирует$\mathcal M$соответственно, как замкнутые пути могут или не могут непрерывно сжиматься в точку. Для монополей (или ежей) релевантной топологической особенностью является то, как замкнутые поверхности можно сжать в точку, поэтому гомотопическая группа, характеризующая эти решения, является второй гомотопической группой.$\pi_2(\mathcal M)$. Тот факт, что для каждого типа решения существует соответствующая гомотопическая группа, классифицирующая его, связан с размерностью пространства-времени и с тем, как скалярное поле (Хиггс) обеспечивает отображение между пространственной бесконечностью и вакуумным многообразием.

В других областях могут быть некоторые различия при обращении к «топологическому объекту». Например, я слышу, как люди, занимающиеся конденсированными веществами, говорят этот термин, имея в виду какой-то материал, такой как топологический изолятор. Однако топология входит и в этом случае аналогично описанному выше. Изучают, как непрерывно деформируются некоторые карты (от первой зоны Бриллюэна до некоторого энергетического многообразия).

Топологический дефект — это решение вашего уравнения движения (т. е., скажем, собственное состояние вашего гамильтониана), которое является устойчивым в соответствии с теорией возмущений. Тем не менее, точное определение требует определенных условий, и, насколько мне известно, глобального математического определения не существует (см. обзор Mermin 1979, который пытается его дать). Например, доменная стенка — это конфигурация спина электрона, которая стабильна при приложении небольшого магнитного поля или небольшой деформации решетки, если вы поместите свои электроны на решетку. Трудность обычно заключается в определении того, что означает «малый».

Также обратите внимание, что топологический объект (определяемый в квантовых теориях поля) обычно является классическим объектом. Мне нравится изложение Рубакова в «Классической теории калибровочного поля», которое ясно показывает, что такое мода с нулевой энергией с точки зрения возмущения. Что же касается их глубокого физического смысла, то они являются решением вашего уравнения движения (скажем, уравнения Шредингера, если хотите), так что в этом отношении они являются обычными модами, но они живут между разными вакуумами, т.е. связывают разные вырожденные вакуума (также называемого основным состоянием). Вот почему они требуют вырождения основного состояния

Простым примером (по крайней мере, для меня, занимающегося сверхпроводимостью) является модель Гинзбурга-Ландау. Когда он не заряжен, он демонстрирует солитоны с проскальзыванием фазы в качестве примера топологического объекта (см. Также книгу Коулмана «Аспект симметрии» для хорошего введения + по этому вопросу), см., например, мой ответ: physics.stackexchange.com/a/112206 /16689 . Когда конденсат заряжен (то есть у вас есть ковариантная производная), есть также вихревые решения, которые устойчивы (см. книгу Рубакова, цитируемую выше)

В широком смысле: объект, который зависит от глобальных свойств системы, а не от метрики или других локальных свойств. Поэтому эти объекты описываются с помощью топологических понятий, таких как гомотопическая группа, фундаментальная группа и так далее.