Почему электрическое поле можно найти методами электростатики, если заряд движется?

Часть «динамика» появляется, когда$d/dt$термины начинают иметь значение, поэтому давайте рассмотрим, откуда они берутся в теории. Дифференциальную форму рассматривать проще всего, поэтому нам не нужно беспокоиться о$E$и$q$находясь в разных местах. Затем

• $d \vec{B} / dt$и$d \vec{E} / dt$: поля статичны? Это определяется тем, являются ли источники и граничные условия статичными.
• изменения времени в источниках$\rho$и$\vec{J}$, ограниченное уравнением неразрывности

В первом примере ничего из этого нет. У него есть ток, но этот ток ( а не отдельные заряды, из которых он состоит) является статическим. Так что это явно область статического анализа.

Второй сложнее, и, вероятно, было бы лучше, если бы было больше объяснений.

Для любой реальной макроскопической установки второго случая кажется очевидным, что изменяющиеся во времени члены будут малы по сравнению со всем остальным. Другими словами, характерные времена помещают его в область «разрядного конденсатора», где мы не особо беспокоимся об электромагнитном излучении от изменяющегося тока.

Теперь в обеих задачах есть токи. Во втором у нас даже есть переменный во времени заряд$Q(t)$. Итак, в обеих задачах заряды перемещаются. Это не статические конфигурации.

В обоих случаях объекты поддерживаются при [что-то] = постоянном, то есть при постоянной разности потенциалов в первом и постоянном общем заряде во втором сценарии. В обоих сценариях течет ток, но это не означает, что ток меняется во времени. Фактически в обоих случаях ток может быть статичным. Другими словами, заряд входит в каждый объект с той же скоростью, что и покидает каждый объект. Таким образом, если вы нарисуете свою гауссову поверхность вокруг каждого объекта, заключенный в ней суммарный заряд может оставаться постоянным во времени, а это означает, что использование закона Гаусса будет в порядке.

Технически закон Гаусса не требует$\partial_{t} \mathbf{B} = 0$, так как он просто утверждает, что ... общий поток$\mathbf{D}$наружу через поверхность равен заряду, содержащемуся внутри... [страница 17 книги Дж. Д. Джексона E&M, 3-е издание (т.е. первая синяя обложка)]. Таким образом, ток во втором случае (как правильно указал мне @AlfredCentauri) может меняться во времени, но использование закона Гаусса не аннулируется этим условием.

Кроме того, есть даже доказательство, основанное на использовании уравнения Лапласа для потенциала внутри провода. Но само существование потенциала есть нечто заимствованное из электростатики, основанное на$\nabla \times \mathbf{E} = 0$, который, как мы знаем, не будет выполняться в электродинамике.

Во-первых, постоянный ток приведет к независимому от времени магнитному полю, которое удовлетворяло бы$\partial_{t} \mathbf{B} = 0$, что делает предположение$\nabla \times \mathbf{E} = 0$хорошо. Технически можно утверждать, что$\nabla \times \mathbf{E} = 0$если$\mathbf{E} = -\nabla \phi$(т. е. градиент скаляра), и в этом случае мы знаем из векторного исчисления, что ротор градиента равен нулю.

Во-вторых, существование магнитного поля не влечет за собой необходимости термина электродинамика , если магнитное поле само по себе статично.

Почему в этих случаях работают традиционные методы электростатики?

Смотрите мои комментарии выше...

Как мы можем правильно обосновать это внутри теории вместо того, чтобы просто сказать, что это работает?

Я думаю, что теорема о дивергенции (которая является частным случаем теоремы Стокса ) является общим математическим правилом, которое не требует ничего статичного, кроме постоянства произвольной поверхности/объема, по которому выполняется интегрирование.

Как я уже говорил, постоянный ток приводит к возникновению статического магнитного поля или$\partial_{t} \mathbf{B} = 0$. В обоих случаях мы можем определить$\mathbf{E} = -\nabla \phi$поскольку любая изменяющаяся во времени составляющая не имеет значения (т. е.$\partial_{t} \mathbf{A} = 0$) для полного электрического поля. Мы знаем из векторного исчисления, что$\nabla \times \nabla \phi = 0$, где$\phi$любая скалярная величина или функция, поэтому тогда$\nabla \times \mathbf{E} = 0$.