Элементарный вопрос о глобальной суперсимметрии мирового листа [закрыто]

Я читаю главу 4 книги Грина, Шварца и Виттена. Они рассматривают действие

$$S = -\frac{1}{2\pi} \int d^2 \sigma \left( \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu - i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right), \tag{4.1.2},$$ где $\psi^\mu$майорановские спиноры, $$\rho^0 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \rho^1 = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix},\tag{4.1.3}$$ $$\bar \psi = \psi^\dagger \rho^0.$$

Утверждается, что это действие инвариантно относительно следующих инфинитезимальных преобразований

$$\begin{align} \delta X^\mu &= \bar \varepsilon \psi^\mu,\\ \delta \psi^\mu &= -i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon, \tag{4.1.8} \end{align}$$ где $\varepsilon$является постоянным (не зависящим от координат на мировом листе) антикоммутирующим майорановским спинором.

Я не могу это доказать. Можете ли вы показать мне, где я не прав?

$$\delta \left( \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu \right) = 2 \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha \bar \psi^\mu \varepsilon$$ (Я использовал $\bar \chi \psi = \bar \psi \chi$личность).

$$\begin{multline} \delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right) = -i \overline{\left(-i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon\right)} \rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \left( -i \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon \right)\\ = - \overline{\rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu} \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon. \end{multline}$$

Обратите внимание, что

$$\begin{multline} \overline{\rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu} = \partial_\beta \psi_\mu^\dagger (\rho^\beta)^\dagger \rho^0 \equiv \partial_0 \psi_\mu^\dagger (\rho^0)^\dagger \rho^0 + \partial_1 \psi_\mu^\dagger (\rho^1)^\dagger \rho^0\\ = \partial_0 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^0 - \partial_1 \psi_\mu^\dagger \rho^1 \rho^0 = \partial_0 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^0 + \partial_1 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^1 \equiv \partial_\beta \bar \psi_\mu \rho^\beta. \end{multline}$$

Так

$$\begin{multline} \delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right) = - \partial_\beta \bar \psi_\mu \rho^\beta \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon\\ \equiv - \partial_\alpha \bar \psi_\mu \rho^\alpha \rho^\beta \partial_\beta X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon. \end{multline}$$

Как может исчезнуть вариация? Я не вижу никаких шансов. Напомню, что симметрия глобальная, поэтому мы даже по частям не можем интегрировать.