Диагонализация члена матрицы масс для фермионов и «удвоения» в теории m (матрицы)

Позволять$M$— массовая матрица для фермионов$\psi_+$и для$\psi_-$(в отдельности). Его получают$\not{D}\not{D^+}= -\partial_t^2+ M^2$

Затем$M^2=r^2 \mathbb{Id_{16}}- \not{v}$, Сейчас$16*16$матрица$\not{v}$имеет нулевой след, и его квадрат равен$\vec v^2 Id_{16}$, так что единственная возможность состоит в том, что матрица$\not{v}$имеет 8 собственных значений$v$и 8 собственных значений$-v$(здесь$v$означает$\sqrt{\vec v^2}$). Итак, матрица$M^2$имеет 8 собственных значений$r^2+v$и 8 собственных значений$r^2-v$. Это верно для$\psi_+$и для$\psi_-$, пока$\psi_3$очевидно безмассовый.

[РЕДАКТИРОВАТЬ]

Гамма-матрицы$SO(9)$реальны, так что$\not{B}$является эрмитовым.$\partial_t$является антиэрмитовым (поскольку$i\partial_t$является эрмитовым), поэтому начиная с$\not{D}=\partial_t-\not{B}$, легко видеть, что$\not{D}^{\dagger}=-\partial_t-\not{B}$

Если пренебречь членами порядка 3 в лагранжиане ($\psi^2Y, \psi^2A$), и применить уравнение Лагранжа на$\psi_+$, Вы получаете$\not{D}\psi_-=0$. И потому что$\psi_+ = (\psi_-)^*$, и$\not{B}$настоящее, у вас также$\not{D}\psi_+=0$

Массовая матрица применяется отдельно к$\psi_+$и$\psi_-$, просто потому что$\psi_+ = (\psi_-)^*$, а массовая матрица действительна.