Преобразование суперсимметрии: почему лагранжиан преобразуется как полная производная?

Я кое-что не понимаю на странице 36 этих конспектов лекций (Автор: Фиоренцо Бастианелли из Болонского университета, название: Интегралы по путям для фермионов и суперсимметричной квантовой механики.) Я подытожу это здесь, но я все равно связал их в случае, если кто-то хочет проверить их.

Итак, мы пытаемся построить суперсимметричное действие, мы работаем в суперпространстве.$D=1$и$N=2$с одной пространственно-временной координатой$t$и две координаты Грассмана$\theta$и$\bar{\theta}$.

Генератор перевода времени

$$H= i \frac{\partial}{\partial t}$$ Генераторами преобразования суперсимметрии, являющимися трансляциями в антикоммутирующих направлениях, являются $$Q= \frac{\partial}{\partial \theta} + i \bar{\theta} \frac{\partial}{\partial t}$$ и $$\bar{Q}= \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}} + i \theta \frac{\partial}{\partial t}$$ Определим скаляр, даже суперполе Грассмана$X(t,\theta, \bar{\theta})$который при преобразовании суперсимметрии преобразуется таким образом $$\delta_S X(t,\theta, \bar{\theta}) = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q)\, X(t,\theta, \bar{\theta})$$

С$\epsilon$и$\bar{\epsilon}$Параметры Грассмана.

Теперь определим ковариантные производные

$$D= \frac{\partial}{\partial \theta} - i \bar{\theta} \frac{\partial}{\partial t}$$ $$\bar{D}= \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}} - i \theta \frac{\partial}{\partial t}$$

так что ковариантная производная суперполя по-прежнему является суперполем, что означает

$$\delta_S DX = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q)\, DX$$

Кроме этих, все коммутаторы и антикоммутаторы нулевые.

$$\{ Q,\bar{Q} \} = 2H$$ $$\{D,\bar{D}\} = -2i \partial_t$$

Теперь мы говорим, что лагранжиан$L=L(X,DX,\bar{D}X)$которое только неявно зависит от координат суперпространства через суперполе и его ковариантные производные, может дать вам суперсимметричное действие. И это потому, что она преобразуется при преобразовании суперсимметрии как полная производная. Точная форма лагранжевой вариации при преобразовании суперсимметрии такова:

$$\delta_S L(X,DX, \bar{D}X) = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q) \, L(X,DX, \bar{D}X)$$

Теперь то, что я не понимаю, это два:

1. Почему лагранжиан преобразуется именно так при преобразовании суперсимметрии? Я не могу это доказать, я могу предоставить набросок моей попытки разработать его преобразование, если потребуется, но на самом деле это ничего не значит, я думаю.

2. Если предположить, что это правильный закон преобразования лагранжиана, то почему это полная производная? Мне кажется, что оно просто трансформируется как суперполе, но я не понимаю, почему это полная производная.