Энтропия и флуктуации вблизи равновесия

Меня очень смущает описание флуктуаций вблизи равновесия в главе 12 книги Ландау по статистической физике. Короче говоря, ядро ​​моего сомнения в том, что он утверждает, что если у вас есть наблюдаемая$X$таким образом, что равновесие достигается при$X=0,$тогда вероятность колебания размера$x$дается экспонентой энтропии, оцененной в$x.$Интересно, каково математическое определение этого понятия энтропии? Я даже этого не понимаю. Ниже моя попытка возможной формализации этих понятий, но не стесняйтесь полностью игнорировать ее, если вы можете сразу ответить на мой вопрос!

---

Возможная интерпретация (конечно, неправильная, но я уверен, что «решение» моего сомнения должно быть примерно таким):

Позволять$M$быть пространством конфигураций и$TM$фазовое пространство. Определить классическую наблюдаемую$X : TM \rightarrow \mathbb{R}.$Если$\mathcal{C}(TM)$является подходящим пространством функций плотности вероятности (детали здесь совершенно не важны для рассуждения), задайте функционал энтропии$I : \mathcal{C}(TM) \rightarrow \mathbb{R}$каким-то образом. Я предполагаю, что в большинстве случаев подходящим определением будет$I[f]=-\displaystyle \int f(q,p) \text{log}f(q,p) dq dp,$и я хотел бы сосредоточиться именно на этой энтропии, но, конечно, можно/нужно рассмотреть и другие возможности! Мы обозначаем через$\overline{X}^f$среднее значение$X$относительно вероятности, заданной$f,$то есть,$\overline{X}^f= \displaystyle \int X(q,p) f(q,p) dq dp$

Определение функции энтропии$S(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$как:

$$S(x) := \text{max} \left( I[f] \ : \ \overline{X}^f=x \right),$$ то есть, $S(x)$есть значение функционала энтропии над функцией, максимизирующей его при соблюдении ограничения, состоящего в том, что среднее значение $X$является $x.$Конечно, существование и единственность такого максимизатора не гарантируется и является важной проблемой, но пока я буду предполагать, что это так, поскольку в больцмановских/максвелловских и близких к ним соответствующих ситуациях существование и единственность действительно имеют место. Следовательно, тот факт, что $S$— это хорошо определенная функция, она весьма нетривиальна, но сейчас мы не будем об этом заботиться. Звоните также $f_x : TM \rightarrow \mathbb{R}$каждому максимизатору: $$f_x(q,p) = \text{argmax} \left( I[f] \ : \ \overline{X}^f=x \right).$$

В этом контексте личность, которую я хотел бы доказать, должна быть:

$$\int_{ \{ (q,p) : X(q,p)=x \} } f_0(q,p) dq dp= c \text{e}^{S(x)},$$ где $c$— некоторая (нормирующая) константа.