Почему мы игнорируем производные энтропии высшего порядка по энергии при выводе распределения Больцмана?

Я изучаю свой первый курс статистической механики, и один момент, который я действительно не понимаю, - это оправдание игнорирования производных энтропии более высокого порядка по отношению к энергии.

Мы начали курс с постулирования микроканонического распределения, используя принцип равных априорных вероятностей для микросостояний изолированной системы в равновесии, а затем пришли к каноническому распределению, признав, что

$$\begin{equation} P_r \propto \mathcal{N_{env}}(E_{total} - E_r) \end{equation}$$

Где,
$r\, :$микросостояние системы, взаимодействующее с окружающей средой при температуре T (только допускающее обмен энергией).
$E_{r}\, :$Энергия, связанная с микросостоянием системы.
$\mathcal{N_{env}}(E_{total} - E_r) :$Количество микросостояний среды, удовлетворяющих ограничению$E_{total} = E_{r} + E_{env}$

Далее мы использовали$S_{env} =k_{B} \ln (\mathcal{N_{env}}(E_{env}) ) \implies \mathcal{N_{env}}(E_{env}) = e^{\frac{S_{env}(E)}{k_B}}$и Тейлор расширил$S_{env}$о$E_{total}$получить,

$$\begin{equation} \mathcal{N_{env}}(E_{env}) \approx \,e^{\frac{1}{k_B} \left[S_{env}(E_{total}) - \frac{\partial S_{env}}{\partial E_{env}}E_r \right]} \end{equation}$$

Признание$\frac{\partial S_{env}}{\partial E_{env}} = \frac{1}{T}$мы получаем,

$$\begin{equation} P_r \,\propto \,e^{-\frac{E_r}{k_BT}}. \end{equation}$$

Обоснование, данное для пренебрежения терминами более высокого порядка, говорит, например,$\frac{\partial^2S_{env}}{\partial E_{env}^2} E_r^2$заключалась в том, что, поскольку все это экстенсивные величины, шкала с числом частиц, т.е.

$$\begin{equation} \frac{\partial^2S_{env}}{\partial E_{env}^2} E_r^2 \rightarrow \frac{\partial^2(N_{env}S_{env})}{\partial (N_{env}E_{env})^2} (N_rE_r)^2 = \frac{\partial^2S_{env}}{\partial E_{env}^2} E_r^2 \left( \frac{N_r}{N_{env}}\right). \end{equation}$$ И с тех пор$N_r << N_{env}$это верно, однако мне трудно убедить себя в этом, поскольку мы имеем дело с деривативами, а в этом вопросе мы довольно часто сталкиваемся с разрывами в деривативах. Я столкнулся с той же проблемой и с дистрибутивом Гиббса.

Я был бы признателен за любые идеи о том, почему это работает, и за какой-то альтернативный подход, кроме вышеупомянутого масштабирования. Я новичок в этом вопросе, поэтому меня бы устроило и нестрогое объяснение.