Можем ли мы присвоить значение энтропии физическим системам, не моделируя их ансамблем/классическими вероятностями?

Определение энтропии, будь то больцмановское ( к Б п  Ом ), Гиббс ( − к Б ∑ я п я п  п я ) или Фон-Неймана ( − к Б Тр р ^ п  р ^ ) всегда опирается, по крайней мере, на некоторую вероятностную интерпретацию (в первом случае она фактически применима только к системе, находящейся в состоянии равновесия). В квантово-механическом случае ансамбля нет, но классические вероятности проявляются в операторе плотности.

Учитывая эти формулы, мое первое впечатление состоит в том, что мы можем говорить о величине «энтропия» только в том случае, если мы моделируем систему как ансамбль и говорим о вероятностях.

Я хотел бы знать, есть ли определение энтропии, применимое и к микросостоянию. Если это не так, то что мы на самом деле подразумеваем под утверждением, что «энтропия изолированной системы увеличивается со временем» ? Что это значит, особенно если мы (потому что мы некая всеведущая сущность) предполагаем знать положение и импульс каждой частицы?

Прежде чем я смогу что-то сказать об энтропии этой системы, мне нужно будет найти подходящее распределение вероятностей для ансамбля, описывающего систему. Моим первым предположением для такого распределения вероятностей было бы то, которое моделирует поведение системы во времени. Под «своевременным поведением» я подразумеваю, что плотность вероятности, которую я правильно выбираю, воссоздает все средние значения, которые я также получил бы, измеряя соответствующие наблюдаемые в выбранные разные моменты времени.

Будет ли это правильным путем?

Ответы (1)

Это точно соответствует тому, что называется «крупным зерном». Идея заключается в следующем. Скажем, у вас есть компьютерная симуляция, в которой вы знаете положение и импульс каждой частицы в большом ящике. Действительно, нет никакого способа присвоить энтропию этому микросостоянию. Если вы знаете микросостояние, то Ом "=" 1 , и С "=" к п ⁡ ( Ом ) "=" к п ⁡ ( 1 ) "=" 0 .

Однако нелепо говорить, что вы буквально знаете все эти данные. Возможно, более разумным является следующее. Во-первых, разбейте большую коробку на сетку из миллиона крошечных кубов объема. 1 м м 3 . Может быть, вы знаете энергию ты и количество частиц н в каждом из этих миллионов крошечных 1 м м 3 кубики. Затем, в вашей симуляции, скажем, вы вычисляете ты и н для каждого крошечного куба, т.е. вы вычисляете макросостояние, соответствующее микросостоянию крошечного куба.

Затем вы вычисляете энтропию макросостояния этого крошечного куба, используя, скажем, формулу Сакура-Тетрода. Затем вы суммируете все энтропии всех крошечных кубов, чтобы получить общую энтропию большого ящика. Эта процедура называется «грубой зернистостью», где крошечные, но конечного размера коробки, возможно, являются «крупными зернами».

Что вы увидите в своей симуляции, так это то, что общая энтропия коробки действительно будет увеличиваться со временем. (Это просто потому, что истинное микросостояние всего ящика, которое, по существу, случайным образом блуждает по фазовому пространству, с большей вероятностью перейдет в макросостояние с большим объемом фазового пространства.) Вы можете начать моделирование со всеми частицами в одном углу ящика. , и сверхурочно они будут занимать все это однородно. Распределение плотности числа/плотности энергии/плотности энтропии по крошечным ящикам со временем сгладится, т.е. градиенты рассеются.

Грубая зернистость, возможно, дает нам ясное представление о том, что мы имеем в виду, когда говорим, что энтропия всегда увеличивается в обычных повседневных объектах.

Таким образом, вы моделируете «микросостояние» с помощью набора надлежащим образом выбранных макросостояний в равновесии (и, поскольку распределение вероятностей для них известно, именно так достигаются вероятности, необходимые для разговора об энтропии?
Да. Хотя я не думаю, что на самом деле правильно говорить, что крошечные коробочки находятся в равновесии, потому что с чем они находятся в равновесии? Просто вы помечаете микросостояние крошечной коробки двумя числами, ты и н , а макросостояние состоит из всех микросостояний с такими значениями энергии и числа частиц. Вы также можете посмотреть H-теорему Больцмана. Используя «гипотезу молекулярного хаоса», можно доказать, что эта крупнозернистая энтропия всего газа увеличивается со временем.
Я имел в виду, что сами по себе крошечные ящики находятся в равновесном состоянии (если бы это было не так, мы бы не знали, как связать n и u с энтропией каждого крошечного ящика)
Я бы сказал, что вы должны тщательно спросить себя, что означает для крошечной коробки быть в равновесии. Макросостояние — это всего лишь область конечного объема микросостояний фазового пространства. Макросостояние, обозначенное ты и н просто содержит все микросостояния энергии ты и номер н с равной вероятностью. Что позволило бы вам сказать, что одно такое микросостояние находится в большем равновесии, чем другое? Слово «равновесие» относится к двум или более различным системам, которые максимизировали свою общую энтропию. Я бы сказал, что маленькие коробочки могут находиться в равновесии со своими соседями, но не с собой.
Слово "статистическое равновесие" также используется для описания свойства макросостояния - в случае микроканонического ансамбля это именно то свойство, что каждое доступное микросостояние равновероятно. Это то, что я имел в виду
Ах хорошо. Тогда да, согласен. Таким образом, каждая маленькая коробочка действительно находится в равновесии из-за нашего невежества в отношении процедуры грубой детализации.
Можем ли мы присвоить значение энтропии физическим системам, не моделируя их ансамблем/классическими вероятностями?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v