Эрмитово сопряжение 4-градиента в уравнении Дирака

Расширение моего комментария.

Основная идея состоит в том, что то, что вы подразумеваете под сопряженным, зависит от рассматриваемого векторного пространства. Например, у нас может быть$\mathbb{C}^n$как наше пространство, с обычным внутренним продуктом; в этом случае сопряжение вектора или матрицы является транспонированным сопряженным. Обратите внимание, что технически присоединение вектора не возвращает вектор, потому что векторы-строки и векторы-столбцы принадлежат разным пространствам.

Мы могли бы также использовать$L^2(\mathbb{R}^n)$как наше векторное пространство. Его элементы являются функциями, а внутренний продукт определяется выражением

Вы также можете брать сопряжения здесь, используя внутренний продукт, определенный выше. Можно показать, что оператор производной, являющийся линейным преобразованием на$L^2$, является антиэрмитовской.

Теперь к уравнению Дирака. Рассматриваемое здесь векторное пространство (то есть спинорное пространство) имеет вид$\mathbb{C}^4$, нет$L^2$. То есть,$\psi$является вектором, потому что он состоит из четырех компонентов, а не потому, что это функция. Тот факт, что его компоненты являются функциями, здесь не имеет значения. Когда мы берем сопряжения, мы транспонируем и сопрягаем векторы и матрицы. Производная — это оператор, если подумать о том, что он делает с функциями, но это не оператор.$4\times4$матрица; это ничего не делает для спиноров. Следовательно, конкретное сопряжение, которое мы здесь делаем, не влияет на него.

Мой ответ очень похож на то, что здесь написали другие, но, возможно, немного по-другому.

Итак, давайте сначала мотивируем определения: -

Эрмитово сопряжение оператора - VS - Эрмитово сопряжение вектора

Эрмитово сопряженное (присоединенное) оператора «Оператор»: -

Эрмитово сопряженное (технически известное как сопряженное ) оператора$\hat{\mathrm A}$определяется по правилу

$\langle\phi|\hat{\mathrm A}|\psi\rangle\ =\langle\hat{\mathrm A}^\dagger\phi|\psi\rangle$, где$\ \hat{\mathrm A}^\dagger$обозначает сопряженный оператор$\mathrm{\hat{A}}$.

ВЫВОД 1. Чтобы найти сопряженный оператор, необходимо рассмотреть математическое ожидание оператора, то есть вычислить интеграл по всем пространственно-временным координатам.

$\langle\phi|\hat{\mathrm A}|\psi\rangle\ =\displaystyle \int_{Entire\\ Domain} \phi^*(t,\mathbf{r})\ \hat{\mathrm A}\ \psi(t,\mathbf{r})\ dt\ d^3\mathbf{r}\ $

ПРИМЕЧАНИЕ: - Для операторов, которые могут быть записаны в виде конечномерных матриц, таких как

$$\begin{bmatrix} f(x) & g(x) \\ h(x) & k(x) \end{bmatrix}$$ где$x \in (-\infty,\infty)$, мы можем найти сопряженное как $$\langle\phi|\hat{\mathrm A}|\psi\rangle = \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \begin{bmatrix} a^*(x) & b^*(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(x) & g(x) \\ h(x) & k(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c(x) \\ d(x)\end{bmatrix}\ dx$$ $$= \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \left(\begin{bmatrix} f^*(x) & h^*(x) \\ g^*(x) & k^*(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a(x) \\ b(x) \end{bmatrix}\right)^\dagger \begin{bmatrix} c(x) \\ d(x)\end{bmatrix}\ dx = \langle{\hat{\mathrm A}^\dagger}\phi|\psi\rangle$$ Подразумевающий$\hat{\mathrm A}^\dagger = \begin{bmatrix} f^*(x) & h^*(x) \\ g^*(x) & k^*(x) \end{bmatrix}$.

Следовательно, можно легко найти сопряженное, просто взяв комплексно-сопряженную транспозицию оператора, представленного в виде матрицы. Однако этот метод НЕ применяется к операторам, которые НЕ МОГУТ быть представлены в виде конечномерных матриц. Имейте это в виду, потому что это важно.

Эрмитово сопряжение вектора: -

Если$\ |\psi\rangle$является вектором состояния, то эрмитово сопряжение определяется как$\ |\psi\rangle^\dagger\ =\langle\psi|$.

Конечномерный вектор помогает нам лучше это представить.

Возьмем, к примеру,$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

Затем,$\langle\psi| = \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix}$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 2. Чтобы найти эрмитово сопряженное «вектора», нужно учитывать только комплексно-сопряженное транспонирование вектора, а НЕ какой-либо интеграл по пространственно-временным координатам.

Теперь давайте рассмотрим разницу между двумя эрмитовыми сопряжениями: -

Утверждения, написанные в выводах 1 и 2, очень важны. Почему?

Рассмотрим векторы

$|\chi_1\rangle = \begin{pmatrix} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+1} \end{pmatrix}$;$\quad$ $|\chi_2\rangle = \begin{pmatrix} x^2e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+4} \end{pmatrix}$

Задание 1: Найти «эрмитово сопряженный вектор»$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle$, где$x \in (-\infty,\infty)$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right) \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xe^{-\frac{x^2}{2}} \\ -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\end{pmatrix}$

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle\right)^\dagger = \begin{pmatrix} xe^{-\frac{x^2}{2}} & -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right) & \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \end{pmatrix} = \frac{\mathrm d}{\mathrm{dx}} \begin{pmatrix} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+1} \end{pmatrix}^\dagger = \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}} \left(|\chi_1\rangle^\dagger\right)$

$\boxed{\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle\right)^\dagger = \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}} \left(|\chi_1\rangle^\dagger\right)}$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 3: - Эрмитово сопряжение ($\dagger$) ничего не сделал для$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}$просто потому, что мы вообще НЕ вычисляем какой-либо интеграл по пространственным (и/или временным) координатам .$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle$просто дает другой «Вектор», комплексно-сопряженное транспонирование которого вычисляется здесь. Вот и все. Больше ничего.

Задача 2: - Найти «Эрмитов сопряженный оператор»$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}$, где$x \in (-\infty,\infty)$

$\langle\chi_2|\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle\ =\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \begin{pmatrix} x^2e^{-\frac{x^2}{2}} & \frac{1}{x^2+4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right) \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \end{pmatrix}\ dx$

$= \displaystyle \int_{-\infty}^\infty x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\ dx + \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+4}\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right)\ dx$

Интеграция по частям даст: -

$\left[\left(x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\right]_{-\infty}^\infty - \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\right)e^{-\frac{x^2}{2}}\ dx + \left[\left(\frac{1}{x^2+4}\right)\left(\frac{1}{x^2+1}\right)\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+4}\right)\frac{1}{x^2+1}\ dx$

Конечно, граничные члены равны 0. Это дает

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \begin{pmatrix} -\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\right) & -\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+4}\right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+1} \end{pmatrix}\ dx\ = \int_{-\infty}^\infty \left[-\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\begin{pmatrix} x^2e^{-\frac{x^2}{2}} & \frac{1}{x^2+4} \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+1} \end{pmatrix}\ dx$

Таким образом,$\langle\chi_2|\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle\ = \langle -\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\chi_2|\chi_1\rangle$, уступая

$\boxed{\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\right)^\dagger = -\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}}$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 4: - Эрмитово сопряжение ($\dagger$) действует на$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}$на этот раз просто потому, что мы вычисляем любой интеграл по пространственным (и/или временным) координатам .

ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ВЫВОД: Просто путаница в обозначениях привела к неприятностям. При нахождении эрмитова сопряжения оператора у него совершенно другая процедура оценки , чем при нахождении эрмитова сопряжения вектора. К сожалению, такое же обозначение ($\dagger$) используется для обоих, что потенциально может привести к путанице.

PS Вы можете задаться вопросом, как узнать, какое определение следует использовать, когда? Ну это просто. В контексте уравнения Дирака

• Если вы должны найти сопряженный оператор Дирака$(i\hbar\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)^\dagger$, вам просто нужно будет использовать определение, применимое к операторам, то есть ожидаемое значение этого оператора.

• Если вы должны найти уравнение Дирака, которое будет удовлетворяться эрмитовым сопряженным вектором$|\psi\rangle^\dagger$, то это еще проще, так как вам не нужно находить ожидаемое значение. Просто комплексно-сопряженное транспонирование всего уравнения. Итак, ВСЕ операторы, зависящие от пространства-времени, такие как$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}$останется незатронутым .

Пожалуй, следующий аргумент более убедителен:

1. Уравнение Дирака$^1$

   $$(i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\psi~=~0 \tag{A}$$ по основной лемме вариационного исчисления эквивалентна $$\forall \phi:\quad 0~=~\int d^4x~\bar{\phi}(i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\psi, \tag{B}$$ где$\phi$является произвольным спинором Дирака (вне оболочки).

2. Эрмитово сопряжение в спинорном пространстве Дирака приводит к

   $$\forall \phi:\quad0~=~\int d^4x~\bar{\psi}(-i\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{\!\mu}~\gamma^{\mu}-m)\phi, \tag{C}$$ что эквивалентно $$\bar{\psi}(i\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{\!\mu}~\gamma^{\mu}+m)~=~0,\tag{D}$$ ср. приведенный выше комментарий Хавьера.

3. С другой стороны, если мы также проинтегрируем (C) по частям, мы получим (после отбрасывания граничных членов)

   $$\forall \phi:\quad 0~=~\int d^4x~\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\phi, \tag{E}$$ где производная теперь действует на$\phi$.

--

$^1$Мы используем следующие соглашения:

Я полностью согласен с приведенными выше ответами, но возникает проблема, когда вы пытаетесь доказать, что оператор Гамильтона является эрмитовым. Фактически, в эрмитовом сопряжении гамильтониана Дирака члены альфа-матрицы будут иметь знак минус из-за i-фактора, и пространственная производная останется неизменной. Итак, в конце мы должны будем сказать, что альфа-матрицы должны быть антиэрмитовыми, чтобы гамильтониан был эрмитовым. Извините, что не написал выражения. Я здесь новенький и еще не умею писать уравнения.