Нормализация биспиноров Дирака

Question

Нормализация биспиноров Дирака

Физика
спиноры
уравнение Дирака
матрицы Дирака
квантовая теория поля

Микис

Позволять $u_\lambda(\vec{k})$ и $v_\lambda (\vec{k})$ быть решениями следующих уравнений

(k̸ - м) {ты}_{λ} (\vec{к}) "=" 0

$(\not k-m)u_\lambda(\vec{k})=0$

(k̸ + м) в_{λ} (\vec{к}) "=" 0

$(\not k+m)v_\lambda(\vec{k})=0$ Предположим, что

u_{λ} (\vec{k})^{†} u_{σ} (\vec{k}) = \frac{ω (\vec{k})}{m} δ_{λ σ}

$u_\lambda(\vec{k})^\dagger u_\sigma(\vec{k})=\frac{\omega(\vec{k})}{m}\delta_{\lambda\sigma}$ и

v_{λ} (\vec{k})^{†} v_{σ} (\vec{k}) = \frac{ω (\vec{k})}{m} δ_{λ σ}

$v_\lambda(\vec{k})^\dagger v_\sigma(\vec{k})=\frac{\omega(\vec{k})}{m}\delta_{\lambda\sigma}$ , где

ω (\vec{k}) = \sqrt{m^{2} + {\vec{k}}^{2}}

$\omega(\vec{k})=\sqrt{m^2+\vec{k}^2}$ . Я пытаюсь показать, что это означает, что

{\bar{ты}}_{λ} (\vec{к}) {ты}_{о} (\vec{к}) "=" {дельта}_{λ о} {\bar{в}}_{λ} (\vec{к}) в_{о} (\vec{к}) "=" - {дельта}_{λ о} .

$\bar{u}_\lambda(\vec{k})u_\sigma(\vec{k})=\delta_{\lambda \sigma} \qquad \quad \bar{v}_\lambda(\vec{k})v_\sigma(\vec{k})=-\delta_{\lambda \sigma}.$

Мой вопрос: как это сделать, не принимая никакого специального представления матриц Дирака и не делая это в специальной системе отсчета (т.е. в системе покоя)? Более того, я не предполагаю закон преобразования для этих биспиноров (поэтому я действительно не предполагаю, что они являются биспинорами в собственном смысле). Единственное, что я предполагаю, это то, что уравнения Дирака для $u$ и $v$ выполнены, и мы знаем правила антикоммутации для $\gamma$ -матрицы, и мы дали нормировку выше для $u^\dagger u$ .

Ответы (1)

Нормализация биспиноров Дирака

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Подсказка: вы хотите рассчитать

\begin{matrix} (1) & {\bar{ты}}_{с} (п) γ^{мю} {ты}_{с^{'}} (п) "=" ? \end{matrix}

$\bar u_s(\boldsymbol p)\gamma^\mu u_{s'}(\boldsymbol p)=\ ? \tag{1}$

Будучи ковариантным объектом, векторный индекс в правой части может быть предоставлен только $p^\mu$ , и поэтому

\begin{matrix} (2) & {\bar{ты}}_{с} (п) γ^{мю} {ты}_{с^{'}} (п) "=" а_{с с^{'}} п^{мю} \end{matrix}

$\bar u_s(\boldsymbol p)\gamma^\mu u_{s'}(\boldsymbol p)=a_{ss'} p^\mu \tag{2}$ (почему

a

$a$ независим от

p

$\boldsymbol p$ ?)

Найти $a_{ss'}$ , сократите обе части этого выражения с помощью $p_\mu$ , и используйте уравнение $\not pu=mu$ .

Теперь пусть $\mu=0$ .

Хорошо, давайте добавим еще несколько деталей:

Если вы сжимаете обе стороны $(2)$ с $p_\mu$ , Вы получаете
$м {\bar{ты}}_{с} (п) {ты}_{с^{'}} (п) "=" а_{с с^{'}} м^{2}$ $\begin{equation}m\bar u_s(\boldsymbol p)u_{s'}(\boldsymbol p)=a_{ss'}m^2\end{equation}$ С другой стороны, если вы позволите $\mu=0$ в $(2)$ , Вы получаете ${ты}_{с}^{†} (п) {ты}_{с^{'}} (п) "=" ю_{п} а_{с с^{'}}$ $\begin{equation}u^\dagger_s(\boldsymbol p)u_{s'}(\boldsymbol p)=\omega_{\boldsymbol p}a_{ss'}\end{equation}$ Из этих двух уравнений вы должны быть в состоянии решить для $\bar u_s(\boldsymbol p)u_{s'}(\boldsymbol p)$ .

Не должно быть $u^\dagger$ вместо $\bar{u}$ ?
@mikis нет, ты понял $u^\dagger$ когда ты позволишь $\mu=0$ (потому что $\bar u\gamma^0=u^\dagger$ )
Хорошо. У меня еще есть один вопрос: вы использовали тот факт, что $\bar{u}\gamma^\mu u$ является ковариантным объектом. Как увидеть это, используя только знания, которые $u$ удовлетворяют заданному уравнению Дирака? Я думаю, что для этого нам нужен закон преобразования для биспиноров.
@mikis уравнение Дирака ковариантно, а значит, и его решения (например, классическое волновое уравнение $(\partial_t^2-\nabla^2)y(x)=0$ имеет решения $y=\exp(\omega t-\vec k\cdot\vec x)$ , которые, как вы уже знаете, ковариантны).
The $u$ биспиноры ковариантны по определению. Это никак не связано с тем, что они удовлетворяют уравнению Дирака. Мы могли бы выбрать для них разные фазы и нормализации, и все свойства ковариантного преобразования перестали бы быть верными. Дело в том, что $u(\vec p)$ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ как соответствующее повышение $u(0)$ .
@Blazej это одно из допустимых определений $u$ , но не единственный. Большинство вводных учебников определяют $u,v$ спиноры как любой базис в пространстве спиноров, где $u$ удовлетворить $pu=mu$ и $v$ удовлетворить $pv=-mv$ . Дополнительные ограничения, такие как $S_zu(0)=\pm 1/2$ достаточно однозначно указать эти объекты, но для решения уравнения Дирака любой базис так же хорош, как и любой другой (ваше определение полезно, когда кто-то хочет изучить содержание частиц в теории, но не нужен, если кто-то хочет только решить уравнение Дирака , скажем, как классическое волновое уравнение). (Излишне говорить, что ваше определение лучше).
Итак, мы должны предположить, что наша $u$ выбираются ковариантным образом? Во всяком случае, если бы не $u$ может быть, можно как-то получить ковариацию $\bar{u}\gamma^\mu u$ только из уравнения Дирака (без этого дополнительного предположения о $u(p)$ быть стимулом $u(0)$ )? Это главный вопрос моего вопроса: достаточно ли для этого уравнения Дирака?
Я согласен с тем, что если вы укажете достаточное количество билинейных ковариантов, то u будут указаны практически однозначно. Но не полностью, потому что фаза неоднозначна (она не влияет на значения билинейных ковариантов). Однако это проявится, если вы рассмотрите биспиноры, которые представляют собой линейные комбинации (термины интерференции).

Нормализация биспиноров Дирака

Микис

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

Микис

СлучайныйПреобразование Фурье

Микис

СлучайныйПреобразование Фурье

Блажей

СлучайныйПреобразование Фурье

Микис

Пернатая корона

Блажей

Более общее соотношение полноты для спиноров Дирака

Путаница с массовым членом Дирака

Коммутирует ли оператор рождения/уничтожения со спинорами?

Диффеоморфизмы и действие Дирака

Вопрос о γγ\гамма-матрице более высокого ранга

Частичное интегрирование оператора Дирака

Компоненты спинорного поля Вейля

Может ли существовать псевдовекторный кинетический термин для фермионов?

Какое спинорное поле соответствует движущемуся вперед позитрону?

Осмысление канонических антикоммутационных соотношений для спиноров Дирака