Эрмитовость оператора Дирака γμDμγμDμ\gamma^{\mu}D_{\mu} и разложение по собственным модам

(операторнозначная) матрица$\not D=\gamma\cdot D$является антиэрмитовым по отношению к скалярному произведению

$$\langle v,u\rangle:=\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)u(x)\ \mathrm dx\tag1$$ где $$\bar v(x):= v^\dagger(x)\gamma^0\tag2$$

Действительно, напишите

$$\not D=\not\!\partial-i\not A\tag3$$

Ясно, что второй множитель удовлетворяет

$$\begin{equation} \begin{aligned} \overline{i\not A}&=-i\overline{\not A}\\ &=-i\not A \end{aligned}\tag4 \end{equation}$$ где мы использовали тот факт, что $\gamma^\mu$удовлетворяет $$\gamma^0\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0=\gamma^\mu\tag5$$ и что $A^\mu$является эрмитовым.

С другой стороны, первый фактор в$(3)$удовлетворяет

$$\begin{aligned} \langle v,\not\!\partial u\rangle&=\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)\not\!\partial u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)\overset{\leftarrow}{\not\!\partial}u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\int_{\mathbb R^d} \overline{(\bar{\not\!\partial }v)}(x)u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\langle \not\!\partial v,u\rangle \end{aligned}\tag6$$ где в первом равенстве мы интегрировали по частям, а в последнем использовали $(5)$.

Отсюда мы узнаем, что$\not D$удовлетворяет$\overline{\not D}=-\not D$, что эквивалентно утверждению, что$\not D$является антиэрмитовым по отношению к$\langle\cdot,\cdot\rangle$, как утверждается.

Заметим, что это понятие антиотшельника гарантирует, что$i\not D$диагонализируема с действительными собственными значениями и ортогональными собственными векторами по обычным причинам (спектральная теорема и т. д.):

$$\tag7 i\not Dv_i=\lambda_i v_i\qquad\Rightarrow\qquad\begin{cases}\lambda_i\in\mathbb R\\\langle v_i,v_j\rangle\propto\delta_{ij}\end{cases}$$