Существует ли двумерное многообразие, на котором уравнение Дирака имеет нулевую моду?

Во-первых, на торе с обоими периодическими граничными условиями есть две нулевые моды, в основном постоянные спинорные поля, а «2» — потому что: спинорное представление$\operatorname{SO}(2)$является двухмерным. Или вы можете представить «2» как одно левое спинорное поле и одно правостороннее спинорное поле. Однако вы сразу увидите, что нулевые моды не являются «надежными». Если мы решим выбрать другие 3 типа спиновой структуры, нулевой моды не будет. В этом смысле нулевая мода сама по себе не является робастной. Вместо этого можно доказать, что индекс Дирака, в основном «нулевая мода» левой руки минус «нулевая мода» правой руки, является топологическим инвариантом (ср. теорему об индексе Атьи-Зингера (AS), например, см. Википедию: https:// en.wikipedia.org/wiki/Atiyah-Singer_index_theorem , применительно к оператору Дирака).

Теорема об индексе AS для оператора Дирака связывает индекс Дирака с членами кривизны, точнее,

$$\begin{eqnarray} \operatorname{Index}=\int_M \hat{A}(TM) ch(V) \end{eqnarray}$$

Грубо говоря, А-шляпный (иногда называемый А-крышным, см.: https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_of_a_multiplicative_sequence#.C3.82_genus ) род — это «гравитационный» вклад,$\hat{A}=1-\frac{1}{24}p_1+\ldots$. В измерении 2 A тривиален, поэтому единственный вклад исходит от персонажа Черна (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class#The_Chern_character )$ch(V)=1+F+\ldots$, комплексного векторного расслоения$V$. Таким образом, это означает, что если у вас есть «магнитный монополь» внутри вашего тора, должна быть и нулевая мода. Поскольку из теоремы об индексе AS следует, что, хотя пару нулевых мод можно поднять, единственная мода всегда присутствует.

Поясним это на вашем примере подробнее. Возьмите свой тор и параметризуйте его двумя координатами:$\theta \in [0,2\pi]$с периодом$2\pi$а также$t \in [0,1]$с периодом$1$. Спинорное представление$SO(2)$является двумерным, например, матрицы Паули$\gamma^\theta=\sigma_2$а также$\gamma^t=\sigma_1$. Хиральный элемент$\gamma^c=i\gamma^t \gamma^\theta = -\sigma_3$Следовательно, мы можем явно записать оператор Дирака:

$$\mathcal{D}=i \gamma^j \partial_j =\left( \begin{array}{c c} 0 & i\partial_t+ \partial_\theta \\ i\partial_t- \partial_\theta & 0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 0 & D \\ D^\dagger & 0 \end{array} \right)$$

куда$D=i\partial_t+\partial_\theta: \Gamma^+ \rightarrow \Gamma^-$а также$D^\dagger=i\partial_t-\partial_\theta: \Gamma^- \rightarrow \Gamma^+$. А также$\Gamma^+ \oplus \Gamma^- = \Gamma(\mathcal{S},T^2)$. Мы также можем скрутить спинорное расслоение с помощью «калибровочных полей U (1)».$\mathcal{A}$, с векторными представлениями, образующими векторное расслоение над$T^2$,$V\rightarrow T^2$. Общий комплект будет$\mathcal{S}\otimes V$, а оператор Дирака модифицируется заменой$i\partial_j$по ковариантной производной$i\partial_j - A_j$. Например, мы задаем однородное магнитное поле с полным потоком$2\pi$по «калибровке Ландау»:$A_\theta(\theta,t)=-t$а также$A_t(\theta,t)=0$. Следовательно, скрученный оператор Дирака:

$$\begin{eqnarray} \mathcal{D}=\left( \begin{array}{cc} 0 & i\partial_t-it+ \partial_\theta \\ i\partial_t+it- \partial_\theta & 0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 0 & D_A \\ D^\dagger_A & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$

куда$D_A=i\partial_t-it+\partial_\theta$а также$D_A^\dagger=i\partial_t+it-\partial_\theta$. Решаем уравнение Дирака$\mathcal{D}\psi=0$на спинорных полях на торе с краевым условием:

$$\begin{eqnarray} \psi(\theta,t)=\psi(\theta+2\pi,t), \quad \psi(\theta,t+1)=e^{i\theta}\psi(\theta,t) \end{eqnarray}$$

Пространство решений$\mathcal{D}\psi=0$можно разложить на левые нулевые моды$D_A\psi_L=0$и правосторонние нулевые моды$D^\dagger_A\psi_R=0$, а индекс - количество левых нулевых мод$n_L=\operatorname{dim}(\operatorname{ker} D_A)$минус правые нулевые моды$n_R=\operatorname{dim}(\operatorname{ker} D^\dagger_A)$. Теперь предположим$\psi_L \in \operatorname{ker} D_A$, по модам разложения

$$\psi_L=\sum_n c_n(t) e^{in\theta}, \quad \frac{dc_n(t)}{dt}-t c_n(t)+n c_n(t)=0$$ поэтому зависимость коэффициента от t $c_n(t)$будет гауссовский тип $c_n(t)=c_n e^{\frac{(n-t)^2}{2}}$, и постоянная $c_n$будет зафиксировано граничным условием: $$c_{n+1}(t+1)=c_n(t)$$ следовательно, $c_n=c$для всех $n$и решение:

$$\begin{eqnarray} \psi_L(\theta,t)=c \sum_n \exp\left(\frac{(n-t)^2}{2}+in\theta \right) \end{eqnarray}$$ однако сумма не перенормируема, поэтому мы заключаем $n_L=\operatorname{ker} D_A=0$. Точно так же мы можем решить $D^\dagger_A \psi_R=0$за $\psi_R$, и решение:

$$\begin{eqnarray} \psi_R(\theta,t)=c \sum_n \exp \left(-\frac{(n-t)^2}{2}+in\theta \right) \end{eqnarray}$$ эта волновая функция нормируема, поэтому $n_R=1$. Итак, индекс $=0-1=-1$. Чтобы проверить теорему об индексе AS, заметим интеграл $\int_M \hat{A}(TM) ch(E)$на 2d сводится к $\frac{1}{2\pi} \int_{M} \mathcal{F}=-1={\rm Index}$(Пояснение к " $-1$" в интеграле: выбираем лево-праворукость по $\gamma^c=i\gamma^t \gamma^\theta$, поэтому мы определяем форму объема как $dt \wedge d\theta$, следовательно, $\mathcal{F}= d (A_{\theta} (\theta,t) d \theta )=- dt \wedge d\theta$)

Этот пример приписывается Атье: собственные значения оператора Дирака для аналогичной, но другой цели.

С другой стороны, если вы хотите иметь чисто «гравитационную нулевую моду», вам нужно найти многомерное многообразие 4k (k целых чисел) с нетривиальными$\hat{A}$. Простой и известный пример с ненулевым числом Понтрягина:$K3$( https://en.wikipedia.org/wiki/K3_surface ) в 4-м измерении, которое также является спиновым многообразием.

Кажется, есть некоторая путаница. В упомянутой статье нет временного направления, и хотя искривление там есть, оно не имеет ничего общего с гравитацией (нет времени). Где, когда вы сравниваете с$2D$Калибровочная теория, одна из$2$измерения являются временными на самом деле. Поэтому, если вы хотите провести аналогию, вам следует рассмотреть два измерения, одно из которых временное, и спросить, существуют ли какие-либо нулевые моды для конкретного многообразия. Ответ там в том, что в$(1+1)$гравитация не является динамической, и спиновая связь исчезает, так что вы не можете провести аналогию с калибровочными теориями в$(1+1)$Габаритные размеры.

Ваш вопрос верен, но ваша аналогия - нет.