Вес объекта — это величина силы, которую необходимо приложить, чтобы объект не двигался к какому-либо другому близлежащему объекту, такому как планета Земля .

Если у вас есть два объекта разной массы, оба рядом с планетой Земля, то при отсутствии какой-либо силы, мешающей им это делать, оба будут следовать одной и той же траектории, если они стартуют из одного и того же места с одинаковой скоростью. Другими словами, они имеют одинаковое ускорение. Это потому, что они оба следуют по самой прямой из возможных линий в пространстве-времени, и есть только одна такая линия (для заданных начальных условий), поэтому оба будут следовать по ней.

Линия, которой они следуют, приближается к Земле все быстрее и быстрее.

Теперь, если вы хотите помешать какому-либо объекту следовать по этой линии, вам придется приложить силу, например силу вашей руки, которая в конечном счете является электромагнитной силой (с некоторыми элементами квантовой механики). Вам придется приложить больше силы к более массивному объекту, потому что вы пытаетесь устранить одинаковое ускорение для обоих объектов, и вы можете использовать второй закон Ньютона,$f = m a$. Да, это действительно так просто. В общей теории относительности такие законы применяются к движениям, связанным с низкой относительной скоростью и небольшими участками пространства-времени. Так как вам нужно приложить больше усилий, чтобы отвести более массивный объект от линии свободного падения, он будет иметь больший вес.

(Добавлено примечание для читателей, желающих знать, как здесь появился закон Ньютона. Чтобы вычислить силу, наблюдаемую данным наблюдателем, принимается локальная инерциальная система отсчета, которая на мгновение находится в состоянии покоя относительно этого наблюдателя. В этой системе отсчета законы физики просто такие же, как и во всех других местных инерциальных системах отсчета, и не подвержены влиянию гравитации. В частности, у вас есть${\bf f} = d {\bf p}/dt$и${\bf p} = \gamma m {\bf v}$где$\gamma=1$для объекта, покоящегося в кадре.)

ОТО говорит, что гравитация — это фиктивная сила, которая существует только потому, что вы выбрали неинерциальную систему отсчета. ОТО определяет неинерциальную систему отсчета как несвободно падающую.

Так что тот факт, что гравитационные силы пропорциональны массе, объясняется просто тем, что неинерционные силы в ньютоновском приближении всегда пропорциональны массе. Например, центробежная сила и сила Кориолиса пропорциональны массе, как и фиктивная сила, которую вы чувствуете в ускоряющемся лифте.

Причина того, что фиктивные силы всегда пропорциональны массе в ньютоновском приближении, заключается в том, что они производят одинаковое ускорение на всех пробных частицах, и в ньютоновском приближении мы имеем$F=ma$.

В ОТО, вне ньютоновского приближения, неверно, что гравитационные силы всегда пропорциональны массе. Например, сила реакции излучения на одну из звезд двойной звездной системы пропорциональна квадрату массы звезды. Это то же самое, что и в случае электромагнитного излучения, где сила реакции излучения пропорциональна квадрату заряда.

Это будет очень расплывчатое объяснение.

Массивные объекты искривляют пространство-время. Объекты, свободно падающие в искривленном пространстве-времени, следуют «прямой» траектории, как и в плоском пространстве-времени. Но «прямо» не означает то, что вы могли бы подумать.

Распространенная аналогия — вождение по искривленной поверхности Земли. Если вы поворачиваете влево или вправо, вы едете по кругу. Но если вы едете «прямо», вы также едете по кругу вокруг Земли. Поскольку Земля изогнута, то и «прямой» путь.

«Прямой» путь на Земле — это наименее искривленный из всех возможных путей на Земле. Кривизна пути определяется кривизной Земли. Все «прямые» пути имеют одинаковую кривизну.

Этот «прямой» путь, который следует за искривленной Землей, отличается от истинно прямого пути. Кривизна Земли настолько мала, что вы обычно не замечаете разницы. Но если бы вы могли идти по-настоящему прямо, вы бы заметили это через несколько миль.

Общая теория относительности что-то вроде этого. Свободно падающие объекты в искривленном пространстве-времени следуют по максимально прямому искривленному пути. Кривизна около Земли достаточно сильна, чтобы вы сразу заметили разницу между «прямой» траекторией в искривленном пространстве-времени и прямой траекторией в плоском пространстве-времени.

Рядом с Землей Земля определяет, насколько искривлено пространство-время. Это не очевидно, но все объекты следуют по траектории одинаковой кривизны. Вы можете увидеть намек на это, если будете бросать большой и маленький камень с одинаковой скоростью и направлением. Они следуют по одной и той же траектории с одинаковой скоростью.

Не очевидно, что означает искривленный или «прямой» путь в пространстве-времени. Один из способов думать об этом состоит в том, что мы путешествуем в трех пространственных измерениях, как обычно, и во временном измерении в направлении будущего. Направление времени как бы перпендикулярно всем измерениям пространства. При обычных скоростях скорость всего, обращенная в будущее, составляет около 1 секунды в секунду.

Если вы видите, что что-то движется быстро, значит, оно не уходит так далеко в будущее за одну вашу секунду. Его часы идут медленнее, чем ваши. Если вы не измеряете время очень точно, это не заметно, если только объект не движется со скоростью, близкой к скорости света. Но это реальный, крошечный эффект даже на обычных скоростях.

Люди говорят о пространстве-времени, потому что пространство и время связаны более тесно, чем можно было бы ожидать. В пространстве-времени расстояние в 186 000 миль составляет всего 1 секунду времени. Так что в каком-то смысле мы путешествуем в будущее со скоростью около 186 000 миль в секунду.

Давайте рассмотрим пару примеров траекторий в пространстве-времени около Земли.

Бросьте небольшой камень. Он приземляется в нескольких футах по расстоянию и в 1 секунду по времени. Это означает, что самая высокая точка траектории составляла 16 футов. Космическая часть траектории резко искривлена. Но имейте в виду, что камень приземлился на расстоянии, эквивалентном 186 000 миль по времени. Кривизна траектории высотой 16 футов и длиной 186 000 миль чрезвычайно близка к плоской. Вы можете вычислить радиус круга примерно в 1 световой год.

Это означает, что гравитация Земли чрезвычайно слаба. Когда астрономы говорят о сильной гравитации, они имеют в виду что-то вроде черной дыры, где объект может двигаться с релятивистской скоростью через 1 секунду после падения. Тем не менее, он достаточно силен для нас.

Другой момент заключается в том, что если вы бросите вместе большой и маленький камни, они будут двигаться по одной и той же траектории в пространстве-времени. Они поднимаются на одинаковую высоту и приземляются на одинаковое расстояние и время.

Возвращаясь к классической физике, это означает, что они имеют пространственную траекторию и следуют по ней за одинаковое время. Они движутся по параболе с одинаковой скоростью и ускорением. Ускорение свободного падения одинаково для больших и малых камней.

Рассмотрим второй пример. Вы наводите винтовку чуть вверх от горизонтали и стреляете. Мы делаем это в очень большой вакуумной камере, чтобы воздух не замедлял пулю. Мы выбрали такой угол, чтобы пуля поднималась на максимальную высоту 16 футов. Он следует по очень плоской кривой и приземляется через 1 секунду примерно в миле от него.

Опять же, это неочевидно, но эта траектория имеет ту же кривизну, что и скала. Это явно почти то же самое. Другой конец находится в миле по расстоянию и в 186 000 миль по времени. Вы можете подумать, что она немного длиннее траектории скалы, потому что миля длиннее нескольких футов.

Но это не по двум причинам. Во-первых, время на самом деле не является пространственным измерением, перпендикулярным всем остальным. Правило расчета общей длины пути в пространстве-времени немного отличается от правила Пифагора.

Во-вторых, пуля двигалась быстрее камня. Так что он не путешествовал так далеко в будущее, как камень. То есть пуля немного моложе, чем другая пуля, которая не выстрелила. Это также изменяет длину пути в пространстве-времени и изменяет кривизну траектории. Получается, что оба имеют одинаковую кривизну.

Несколько переключая темы, есть разные представления о том, что вы можете иметь в виду, когда говорите, что более плотный объект того же размера тяжелее. Все действительно значит более массивный.

Инерционная масса: более массивный объект труднее толкать, труднее ускорять. Как большой грузовик нуждается в более мощном двигателе, чтобы разогнаться до скорости, чем у мотоцикла.

Активная гравитационная масса: более массивный объект искривляет пространство-время больше, чем менее массивный объект. Он отклоняет объекты дальше от траектории, которую они имели бы в плоском пространстве-времени. Это означает, что Земля создает более сильные гравитационные силы, чем Луна.

Пассивная гравитационная масса: более массивный объект притягивается к Земле с большей силой, чем менее массивный объект.

Эти три понятия массы концептуально различны. Вы можете измерить массу объекта, ускорив его, позволив ему притягивать массу или наблюдая, как масса притягивает его. Физики не нашли глубоких причин, по которым все три ответа должны быть одинаковыми. Но даже чрезвычайно чувствительные эксперименты всегда показывают, что это так. Это одна из глубоких загадок физики. Мы не можем показать, что они одинаковы. Мы должны это предположить. Это предположение используется в основе законов Ньютона и для вывода общей теории относительности.

Это также часть объяснения того, почему более массивный объект тяжелее.

Предположим, вы держите большие и маленькие камни. Вы можете отбросить их и позволить им следовать своей «прямой» траектории к Земле. Если вы это сделаете, они ускорятся вниз с той же скоростью,$g$.

Но это не так. Вы воздействуете на них восходящими силами, заставляя их отклоняться от этой траектории к тем, которые остаются на постоянном расстоянии от Земли. Для этого восходящая сила должна быть такой же, как сила тяжести. Сила гравитации пропорциональна массе.

Таким образом, более плотный камень тяжелее менее плотного.

Возможно, главный вывод заключается в том, что хотя GR и является истинным и правильным ответом, это намного проще.

Как искривленное пространство объясняет, почему более плотный объект той же формы и объема кажется тяжелее?

Пространство, которое мы видим вокруг себя, плоское в пределах точности наших измерений. При переходе к энергиям пространства-времени специальной теории относительности задействованы четыре вектора, но все же плоскостность находится в рамках описаний преобразования Лоренца.

Что говорит нам о том, что пространство искривлено? Ответ таков: Общая теория относительности при больших массах доминирует и вводит искривление пространства-времени.

Что такое общая теория относительности? :

— геометрическая теория гравитации, опубликованная Альбертом Эйнштейном в 1915 году и являющаяся текущим описанием гравитации в современной физике. Общая теория относительности обобщает специальную теорию относительности и уточняет закон всемирного тяготения Ньютона, обеспечивая единое описание гравитации как геометрического свойства пространства и времени или четырехмерного пространства-времени. В частности, кривизна пространства-времени напрямую связана с энергией и импульсом любой материи и излучения.

Уравнение Эйнштейна связывает кривизну пространства с тензором энергии-импульса.$T_{μν}$.

Результат таков: если нет материи, поставляющей энергию и импульс, чтобы можно было определить тензор, то пространство не искривлено, оно плоское.

Итак, ответ первого уровня на ваш вопрос: существование массы/энергии создает кривизну. Чем больше массы, тем больше кривизна.

Таким образом, более плотный объект даст более сильный тензор энергии-импульса и большую кривизну в соответствии с математикой общей теории относительности.

Я всегда находил шар для боулинга в батутной модели гравитации плохой аналогией. Вместо этого думайте о гравитации как о системе низкого давления в погоде, где давление является мерой пространства-времени. Чем медленнее время, тем ниже давление. Ничто в этой аналогии не противоречит теории относительности, это просто лучший способ визуализировать проблему.

Что интересно в отношении давления, так это то, что оно допускает все проявления гравитации. Например, сначала представьте, что вы вытащили под воду три куска пробки, борясь с напором воды: 1 кг, 10 кг и 100 кг. Очевидно, что 10-килограммовые и 100-килограммовые пробки будет гораздо труднее протащить под пробку, чем 1-килограммовые. Так же, как пытаться поднять 10-килограммовые и 100-килограммовые предметы сложнее, чем 1-килограммовые. Во-вторых, если представить, что большие куски имеют такую ​​же водонепроницаемость, как и меньшие (т. е. они имеют форму пули), и если вы потянете все три вниз на 100 метров и отпустите, все они поднимутся наверх с такое же ускорение, как если бы вы подняли их на 100 метров в воздух и бросили вниз.

Поэтому подумайте, почему один объект тяжелее, потому что вы боретесь с большим давлением, поднимая его.

В основном ответ Эндрю Стина верен для случаев, когда объекты относительно малы (небольшая энергия стресса по сравнению с Землей), я просто хотел бы дать разъяснение о другом эффекте, в случае объектов, которые имеют энергию стресса, сравнимую с этим Земли.

Вы специально спрашиваете, почему более массивный объект кажется тяжелее.

Очень важно понимать, что именно энергия напряжения, а не масса создает эффекты гравитации (включая искривление пространства-времени).

Теперь ваш вопрос на самом деле заключается в том, почему объект с большей энергией стресса кажется более тяжелым, скажем, здесь, на Земле?

Ради аргумента предположим, что вы держите в одной руке перо, а в другой — мини-черную дыру (не обращайте внимания на другие эффекты).

Почему мне кажется, что перо легкое, а мини-черная дыра очень тяжелая?

Вы говорите, что гравитация — это просто искривление пространства-времени, и что перо, и мини-черная дыра пытаются следовать геодезическим, то есть обе пытаются двигаться по траектории к центру Земли. Вы говорите, что этот путь определяется статическим гравитационным полем Земли.

Если они просто движутся по геодезической траектории (определяемой Землей), почему человек чувствует себя тяжелее?

Ответ заключается, с одной стороны, в инерции (поскольку один объект более массивен, у него больше инерция), а с другой стороны, в том, что оба объекта имеют свои собственные гравитационные эффекты, которые определяются их собственной энергией напряжения.

Теперь прежний эффект (инерция) является здесь основным, когда мы имеем дело с относительно небольшими объектами, имеющими относительно небольшую энергию-напряжение по сравнению с Землей. Последний эффект (собственное гравитационное поле) становится заметным только тогда, когда энергия-импульс объектов сопоставима с земной. Вот почему я выбрал для примера мини-черную дыру, чтобы мы могли видеть оба эффекта.

1. Инерция

Это основной эффект, который мы испытываем, когда говорим об относительно небольших объектах, обладающих относительно небольшой энергией напряжения (по сравнению с Землей). В этом случае можно пренебречь последним эффектом (собственным статическим гравитационным полем малых объектов).

2. Собственные статические гравитационные поля объектов

Этот эффект обнаруживается только на уровне объектов, сравнимых с энергией напряжения самой Земли.

Мини-черная дыра обладает гораздо большей энергией напряжения, чем перо, поэтому она создает вокруг себя статическое гравитационное поле, которое намного сильнее, чем у пера.

Это статическое гравитационное поле мини-черной дыры воздействует на Землю точно так же, как Земля воздействует на мини-черную дыру. Эта мини-черная дыра может показаться маленькой, но она мощная.

Поскольку у мини-черной дыры гораздо больше энергии напряжения, чем у пера, она заставляет Землю ускоряться по направлению к ней точно так же, как Земля заставляет оба объекта ускоряться по направлению к Земле. В случае с перьями этот эффект настолько мал, что его вообще невозможно обнаружить.

Поэтому, когда вы пытаетесь удержать мини-черную дыру и перо на одном и том же расстоянии от Земли, вы пытаетесь работать против статического гравитационного поля всех этих объектов.

Таким образом, погрешность, связанная с игнорированием движения Земли, составляет примерно одну часть на триллион триллионов, что намного превышает чувствительность любого существующего (или даже вообразимого) измерительного прибора сегодня.

Разве более тяжелые объекты не падают быстрее, потому что они создают собственную гравитацию?

И вот факт, да, вопреки распространенному мнению, мини-черная дыра будет ускоряться к Земле быстрее, чем перышко, и достигнет поверхности раньше, чем перышко (если его отпустить, не принимая во внимание атмосферу). Это вызвано тем, что мини-черная дыра обладает большей энергией напряжения и создает вокруг себя более сильное статическое гравитационное поле, воздействующее на саму Землю.

Пожалуйста, обрати внимание:

1. гравитация - это искривление пространства-времени, а не просто пространственное искривление

2. эффекты гравитации в вашем случае создаются взаимосвязью между пером и Землей или мини-черной дырой и Землей, оба объекта действуют друг на друга

Так что в следующий раз, когда вы возьмете в руки перо и мини-черную дыру (пожалуйста, не берите), пожалуйста, поймите, что одно из них кажется намного тяжелее, потому что эффекты возникают из-за явления, которое создается взаимным взаимодействием между пером и Земля или мини-черная дыра и Земля, а мини-черная дыра имеет гораздо больше энергии стресса. Просто обычно в случае относительно небольших (с малой энергией напряжения) объектов мы можем пренебречь вкладом собственных статических гравитационных полей малых объектов.

Таким образом, ответ на ваш вопрос в основном состоит из двух эффектов:

1. инерция, это окончательный ответ на ваш вопрос. На уровне относительно небольших (с небольшой энергией напряжения) объектов именно это заставляет один из них чувствовать себя тяжелее. Если один объект более массивен (имеет больше энергии напряжения), мы пропорционально почувствуем его тяжелее. Гравитация в данном случае — это просто искривление пространства-времени, которое ускоряет оба объекта примерно с одинаковой скоростью. Более массивный объект кажется тяжелее, потому что у него больше инерции, и вы пытаетесь остановить его движение по геодезической.

2. малые объекты владеют статическим гравитационным полем, которое заставит их ускоряться с разной скоростью по направлению к Земле. этот эффект становится заметным только на уровне объектов, имеющих сравнимый уровень энергии-импульса по отношению к Земле.

Я не могу придумать аккуратного, интуитивно понятного способа, как это объяснить. Одна из проблем заключается в том, что «тяжелое» — это нерелятивистское понятие, поэтому вам придется переводить уравнения движения общей теории относительности обратно в ньютоновские силы в абсолютной системе отсчета.

Один из способов добраться до «тяжелого» может быть следующим:
уравнение Эйнштейна связывает кривизну пространства-времени с тензором энергии-импульса, который включает в себя плотность энергии (т.е. массы). Если вы решите уравнения Эйнштейна и найдете метрику пространства-времени, вы сможете вычислить движение объекта в этом пространстве-времени (в этом случае движение полностью определяется метрикой пространства-времени), см., например, https: // physics.stackexchange.com/a/135236/275840
И движение этого объекта может в некоторой системе отсчета (например, вы стоите на поверхности земли) быть разбито на ускорение в этой системе отсчета, которое, в свою очередь, будет действовать как сила, воздействующая на что-то на своем пути, пытающаяся остановить это (например, на вас, поэтому вы чувствуете, что это «тяжело»).

Гравитация действует на все объекты одинаково, независимо от массы. Объект, который движется по своему естественному пути через пространство и время, находится в свободном падении. Все свободно падающие объекты движутся по одному и тому же пути, независимо от их массы, как это было продемонстрировано Галилеем (если только они не настолько массивны, что нам нужно учитывать их собственную гравитацию). Причина, по которой некоторые объекты кажутся тяжелее других, заключается в том, что требуется больше энергии, чтобы отклонить их от их естественного пути.

Например, объект, лежащий на поверхности земли, движется не по своей естественной траектории (не в свободном падении). Земля должна приложить силу, чтобы объект не провалился. Для более массивных объектов поверхность земли должна оказывать большую силу.

Если мы имеем дело только с тяжестями в локализованном месте на поверхности земли, то можно использовать принцип эквивалентности: физические свойства такие же, как у космического корабля в открытом космосе с ускорением$g$.

Более тяжелые предметы здесь, на Земле, будут столь же тяжелее и там. Легко видеть, что ускорение одинаково для всех объектов, потому что корабль действительно ускоряется. Конечно, как$F = ma$, больше масса означает больше веса.

Метрика на поверхности земли такова, что ковариантное ускорение равно$g$для тела в состоянии покоя, как описано здесь .

Для классического ответа нельзя пройти мимо резюме Уилера о GR:

Материя (плотность энергии) сообщает пространству-времени, как изогнуться

Искривленное пространство-время подсказывает материи, как двигаться.

На Земле, если объекты имеют гораздо меньшую плотность энергии, чем Земля (практически каждый случай в повседневной жизни), то локальная кривизна (ускорение$g$) по сути то же самое, но вам нужно проделать больше работы (большая сила x то же расстояние), чтобы поднять более массивный (= больше инерции) объект = чувствуется тяжелее.

Теоретически, если бы объект на Земле имел такую ​​же плотность энергии, как и Земля (т.е. небольшая черная дыра), то он фактически заметно искривлял бы локальное пространство-время. Тогда Земля также будет двигаться к нему с ускорением, поэтому вам придется проделать намного ++ больше работы (против собственной кривизны объекта), чтобы поднять его по сравнению с любым другим повседневным объектом.

В общей теории относительности силы гравитации не существует. Поэтому мы не можем думать о «тяжести» или «весе» как о «силе, приложенной Землей к телу», которую вы рассматриваете. Итак, предварительный вопрос: как мы определяем здесь «тяжесть»?

В вашем случае у нас есть фоновая метрика и кривизна, исходящие из распределения энергии-импульса-напряжения Земли, и на которые незначительно влияет тело, которое вы рассматриваете. Следовательно, если бы тело находилось в свободном падении, оно имело бы ту же самую четырехмерную мировую линию, независимо от его плотности, формы, объема (при условии, что они находятся в таких пределах, которые позволяют нам рассматривать тело как пробную массу).

В этом случае мы можем определить «тяжесть» или «вес» как 4-силу, необходимую для удержания пробного тела в покое в системе отсчета, в которой Земля (в среднем) покоится. Если в такой системе координат тело покоится, то его мировая линия не является геодезической. Это означает, что тело имеет 4-ускорение, то есть его 4-импульс изменяется (в терминах ковариантной производной) вдоль своей мировой линии – оно не остается «параллельным себе» вдоль мировой линии. (Помните, что 4-импульс воспринимается — его можно разложить — как обычный импульс и массу-энергию в конкретной системе отсчета, но такое восприятие и разложение зависит от системы отсчета; аналогично, 4-сила может быть разложена как обычная сила и работа + подогрев.)

Согласно уравнениям Эйнштейна, такое 4-ускорение возможно только в том случае, если на тело действует 4-сила — то, что мы определяем как «тяжесть», и оказывается, что такая 4-сила действительно зависит от массы покоя тела . тело. По этой причине, если объект имеет большую массу, он будет «ощущаться тяжелее». Аналогичное рассуждение можно было бы сделать и для «чувства инерции».

В общем, сумма 4-силы$\pmb{f}$необходимое для отклонения пробного тела от его геодезической будет зависеть от фоновой кривизны (тело ощущается тяжелее на более массивной планете, что приводит к большей кривизне), выраженной в ковариантной производной$\nabla$; и на массу покоя$m$тела (более массивные тела ощущаются тяжелее), что равно «4-длине» 4-импульса$\pmb{p}$тела. Если тело не излучает и не поглощает тепло, то$\pmb{p}=m\pmb{u}$, где$\pmb{u}$есть 4-скорость тела, имеющего единицу «4-длины». В этом случае сила удовлетворяет$\pmb{f} = \nabla_{\pmb{u}}(m\pmb{u})$, которую можно вывести из уравнений Эйнштейна (эта формула связана с$F=ma$"ньютоновской механики, которая появляется в других ответах). В вашем примере"$\nabla_{\pmb{u}}\pmb{u}$часть" одинакова для более плотных и менее плотных объектов (та же негеодезическая мировая линия, та же кривизна фона), но "$m$часть" больше для более плотного объекта.

Если тело излучает или поглощает тепло, его 4-импульс и 4-скорость на самом деле не коллинеарны; обычно это незначительный эффект в ньютоновских контекстах.

Рекомендации

Четыре импульса, четыре ускорения, четыре силы можно найти в разных местах в

• Мизнер, Торн, Уилер: Гравитация (Фримен, 1973),

например главы 6 и 13.

Вывод$\pmb{f} = \nabla_{\pmb{u}}(m\pmb{u})$для пробных тел из уравнений Эйнштейна нетривиально. См., например:

• Инфельд, Шильд: О движении пробных частиц в общей теории относительности . Преподобный Мод. физ. 21 (1949), 408.

• Героч, Су Джанг: Движение тела в общей теории относительности . Дж. Матем. физ. 16 (1975), 65.

О неколлинеарности 4-скорости и 4-импульса см., например,

• Эккарт: Термодинамика необратимых процессов. III. Релятивистская теория простой жидкости . физ. 58 (1940), 919.