Если оператор симметрии S в КТП аннулирует вакуум, то почему S сохраняет пространство одночастичных состояний?

Это эвристическое объяснение утверждения Виттена, не вдавающееся в тонкости вопросов аксиоматической квантовой теории поля, таких как поляризация вакуума или перенормировка.

Частица характеризуется определенным импульсом плюс возможные другие квантовые числа. Таким образом, одночастичные состояния по определению являются состояниями с определенными собственными значениями оператора импульса, они могут иметь и другие квантовые числа. Эти состояния должны существовать даже во взаимодействующей теории поля, описывающей единственную частицу вдали от любого взаимодействия. В локальной квантовой теории поля эти состояния связаны с операторами локального поля:

$$| p, \sigma \rangle = \int e^{ipx} \psi_{\sigma}^{\dagger}(x) |0\rangle d^4x$$ Где $\psi$- поле, соответствующее частице, и $\sigma$описывает набор других квантовых чисел, дополнительных к импульсу. Генератор симметрии $Q$являющийся интегралом плотности заряда по теореме Нётер $$Q = \int j_0(x') d^3x'$$ должен генерировать локальное поле, когда он действует на локальное поле: $[Q, \psi_1(x)] = \psi_2(x)$(В случае внутренних симметрий $\psi_2$линейно зависит от компонентов $\psi_1(x)$, в случае пространственно-временных симметрий зависит от производных компонент $\psi_1(x)$)

Таким образом, в целом:

$$[Q, \psi_{\sigma}(x)] = \sum_{\sigma'} C_{\sigma\sigma'}(i\nabla)\psi_{\sigma'}(x)])$$

Где зависимость коэффициентов$C_{\sigma\sigma'}$об операторе импульса$\nabla$обусловлено возможностью того, что$Q$содержит пространственно-временную симметрию. Таким образом, для оператора$Q$удовлетворяющий$Q|0\rangle = 0$, у нас есть

$$Q | p, \sigma \rangle = \int e^{ipx} Q \psi_{\sigma}^{\dagger}(x) |0\rangle d^4x = \int e^{ipx} [Q , \psi_{\sigma}^{\dagger}(x)] |0\rangle d^4x = \int e^{ipx} \sum_{\sigma'} C_{\sigma\sigma'}(i\nabla)\psi_{\sigma'}(x) |0\rangle d^4x = \sum_{\sigma'} C_{\sigma\sigma'}(p) \int e^{ipx} \psi_{\sigma'}^{\dagger}(x) |0\rangle d^4x = \sum_{\sigma'} C_{\sigma\sigma'}(p) | p, \sigma' \rangle$$ Таким образом, действие оператора $Q$является представлением в одночастичных состояниях. Дело в том, что $Q$коммутирует с гамильтонианом, обусловливает энергетическое вырождение его действия, т. е. состояния $| p, \sigma \rangle$а также $Q| p, \sigma \rangle$имеют одинаковую энергию.