Откуда берутся степени свободы бозона Голдстоуна?

Что ж, модель потенциала сомбреро Голдстоуна 1961 года наглядно иллюстрирует основы. Позвольте мне опошлить их.

На языке O (2), небрежно относясь к нормализациям, он думает о сложной скалярной теории поля, действительные и мнимые компоненты которой разрешаются в систему двух действительных скалярных степеней свободы с потенциалом прототипа.

$$\frac{\lambda}{4} (A^2 + B^2 +\epsilon v^2)^2 .$$ Изоротационная симметрия O(2) переводит A в $A\cos \theta- B \sin \theta$; и B к ортогональной комбинации. Сохраняющийся ток равен $J_\mu = A\partial _\mu B - B\partial_\mu A$, т.е. $\partial \cdot J=0$, и $i\theta [Q, A]=\delta A ~,$и аналогично для B , поэтому тогда $$\delta A =- \theta B, ~~~~\delta B=\theta A ~.$$

Сдвиньте параметр ε с 1 (общий для неисчезающего положительного) ; до 0; до -1 (общий для неисчезающего отрицательного) и следить за качественной судьбой двух полей в этих трех случаях.

При ε=1 A и B являются близнецами . Имеют одинаковую массу,$\sqrt{\lambda} v$, так как минимум потенциала находится при$\langle A\rangle =\langle B\rangle = 0$, и так$\langle \delta A\rangle= \langle \delta B\rangle= 0$, то есть,$Q|0\rangle=0$, поэтому вакуум инвариантен относительно изовращения,$e^{i\theta Q}|0\rangle=|0\rangle$. Потенциал выглядит так:

---

При уменьшении ε до 0 масса A и B уменьшается до 0, но они остаются близнецами, и их вращение друг в друга по-прежнему линейно, а вакуум по-прежнему симметричен — все приведенные выше соотношения (кроме исчезнувшей массы) суть то же, что и выше.

---

Как только ε становится отрицательным, происходит нечто катастрофически качественно иное : SSB. Возьмем ε равным -1 для простоты. Теперь потенциал четвертой степени трансформируется в культовое сомбреро Голдстоуна, а минимумом является весь этот плоский круг на плоскости АВ . Симметрия скользит по этому вырожденному дну (орбите) без сопротивления.

Таким образом, для основного состояния необходимо сделать выбор: предположим, вы произвольно выбираете$\langle B\rangle=0$и$\langle A\rangle =v$. Поскольку вас интересуют возбуждения вокруг этого вакуума, замените на удобные переменные$A\equiv v+h$, поэтому h — возбуждение вокруг этого вакуума с$\langle h\rangle=0$.

Четвертый потенциал теперь расширяется до

$$\frac{\lambda}{4} \left ( B^4+ h^4 +2h^2B^2 +4vh(B^2+h^2) +4v^2 h^2 \right).$$ Для B нет термина массы , но для h используется огромная масса (ранее известная как A ; вы могли бы довести эту массу до бесконечности, если хотите, отправив туда λ), аналогичную массе, которую она имела до SSB.

• Важнейшая часть$\langle B \rangle= \langle h \rangle= \langle \delta A \rangle=0$, но $\langle \delta B \rangle= \theta v$, неисчезающий: отличительная черта бозона Голдстоуна , поскольку$\delta B= \theta v+ \theta h$; вызовите v параметр заказа. Эта сдвиговая нелинейность в преобразовании Голдстона исключает существование для него массового члена, так как этот член не был бы инвариантным относительно симметрии, все еще всемогущим, но немного скрытым (кого мы обманываем? Это называется Намбу-Голдстоуна реализации).

Электрический ток$J_\mu = v\partial_\mu B+ h\partial _\mu B - B\partial_\mu h$, конечно, еще сохраняется, но проверьте, что теперь$Q|0\rangle\neq 0$: симметрия смещает вакуум вокруг дна сомбреро, возбуждая выплескивание B из него — он постукивает ложкой по миске с желе.$|B(p=0)\rangle$вырождается с$|0\rangle$, как$\langle B(p)| J_\mu (x)|0\rangle\sim e^{ip\cdot x} v p_\mu$.

Проверь это$[Q,H]=0$, так$H (Q|0\rangle)= Q(H|0\rangle)= QE_0|0\rangle= E_0(Q|0\rangle)$.

Напротив, колебания массивного h (σ или «Хиггс») соответствуют качению вверх и вниз по стенкам долины сомбреро поперек оси долины.

• Вывод : по мере того, как ε скользит от 1 к 0 и затем к -1, масса «хиггса», A/h , уменьшается до 0, а затем снова становится выше своего прежнего значения; напротив, масса B уменьшается до 0 и остается там, но внезапно при ε < 0 она превращается в голдстона.