Если спонтанное нарушение симметрии происходит только в бесконечных системах, почему мы наблюдаем подобные эффекты в конечных системах?

Задний план

Нет SSB в конечных системах

Рассмотрим систему, взаимодействующую с термостатом при обратной температуре β , с результирующей динамикой системы, описываемой лиувиллевским супероператором л . Если эта система конечна, то при достаточно общих условиях на л , ожидаем состояние равновесия р , значение л ( р ) знак равно 0 , однозначно заданное состоянием Гиббса

р грамм я б б с знак равно е − β ЧАС Т р [ е − β ЧАС ] ,

куда ЧАС является гамильтонианом системы.

Позволять грамм — группа симметрии гамильтониана, а это означает, что существует унитарное представление U из грамм такой, что [ ЧАС , U ( грамм ) ] знак равно 0 для всех грамм е грамм . Понятно, что у нас тоже [ р грамм я б б с , U ( грамм ) ] знак равно 0 , поэтому состояние Гиббса сохраняет все симметрии гамильтониана. В этом смысле кажется, что в конечных системах не может быть спонтанного нарушения симметрии (SSB) .

SSB в бесконечных системах (и состояниях KMS)

Далее в типичном повествовании говорится, что на самом деле SSB может возникать, но только в бесконечных системах. Здесь нет гарантии, что е − β ЧАС является трассовым классом, поэтому в целом состояние Гиббса определено нечетко. Чтобы распространить понятие «теплового» состояния на бесконечные системы, обычно определяют так называемые состояния КМС. Это штаты ф которые удовлетворяют условию KMS, которое можно (неформально) сформулировать как

⟨ А ( т ) Б ⟩ ф знак равно ⟨ Б ( т + я β ) А ⟩ ф ,

для всех операторов А и Б в операторной алгебре, где ⟨ ⋅ ⟩ ф указывает ожидаемое значение по отношению к состоянию ф . (все опускаю С * -алгебраические детали здесь для краткости.)

Существует большое количество литературы, показывающей, что состояния KMS сохраняют свойства, которые мы считаем ключевыми для определения теплового состояния, такие как состояния равновесия, но остаются четко определенными для бесконечных систем.

Я считаю, что для конечных систем условие KMS однозначно определяет состояние: состояние Гиббса. Однако для бесконечных систем это не обязательно так, и, грубо говоря, SSB возникает при множестве состояний KMS, каждое из которых не сохраняется группой симметрии гамильтониана.

Вопрос

И эксперименты, и численное моделирование показывают системы, поведение которых очень похоже на поведение SSB (ферромагнетики существуют!). Однако эти системы реального мира явно ограничены, поэтому приведенные выше аргументы предполагают, что они не могут действительно отображать SSB. Чем объясняется это несоответствие?

Мысли об ответе

Хотя эксперименты в реальном мире конечны, их часто можно довольно эффективно описать, приняв ограничение на бесконечный размер. Если это уместно, то, возможно, динамика этих больших конечных систем может быть хорошо аппроксимирована бесконечными системами, по крайней мере, до некоторого большого масштаба времени. т который предположительно быстро растет с размером системы. Тогда мы могли бы ожидать, что эти конечные системы будут отображать сигнатуры SSB в масштабе времени. т , после чего они распадутся в состояние Гиббса и симметрия восстановится. Если это правильно, можно ли что-то уточнить?

Несколько быстрых мыслей: 1) абсолютное основное состояние является макроскопической суперпозицией состояния нарушения симметрии. 2). Наименьшее количество связи разрушит когерентность для этого состояния кошки. 3) Я предполагаю, что состояние гибкости с наименьшей температурой представляет собой смешанное состояние состояний с нарушенной симметрией, поэтому во всем его симметрично. Это согласуется с экспериментами, в которых вы заранее не знаете, как нарушается симметрия. Я не знаю, как это доказать. Это может быть просто физически, макроскопическое время туннелирования расходится, и никогда не бывает истинной термализации состояния Гибса.
Речь идет о квантовой, классической или о том и другом?
Это звучит как излишний математический формализм, затуманивающий очень простую физическую точку. Забудьте о супероператорах Лиувилля, состояниях KMS и С * алгебры. Дело в том, что большая система имеет вырожденные основные состояния с высокими энергетическими барьерами между ними. В статистико-механическом случае временной масштаб тепловых флуктуаций между ними очень мал. В квантовом случае их суперпозиция не стабильна и немедленно разрушается. Так что в любом случае вы видите систему в одном состоянии с нарушенной симметрией.
@NorbertSchuch, я считаю, что формализм KMS одинаково хорошо применим к квантовому и классическому случаям, поэтому в принципе я имею в виду оба. Тем не менее, я все еще относительный пешеход, когда дело доходит до SSB, квантового или классического, поэтому меня также интересуют ответы, которые применимы только к одному или другому.
@knzhou, ты не согласен, что есть качественная разница между конечными и бесконечными системами, когда дело доходит до SSB? Извиняюсь, если математика, которую я упомянул, запутала суть, но я считаю, что основная логика верна. Что касается вашей точки зрения о нестабильных состояниях кошек, у меня есть две путаницы: i) как это распространяется на конечную температуру? ii) почему даже при 0T состояние равновесия должно быть чистым? Не может ли это быть равная смесь основных состояний, которая была бы инвариантной по симметрии? Действительно, это то, что вы получите, если возьмете предел β → ∞ штата Гиббс.
@OliverLunt Нет, качественной разницы между конечными и бесконечными системами нет, потому что каждое физическое свойство бесконечной системы должно быть сколь угодно хорошо аппроксимировано достаточно большим конечным. Если бы вы нашли величину, которая не подчиняется этому правилу (т. е. когда бесконечный случай будет выглядеть совершенно иначе, чем любой конечный случай, независимо от того, насколько он велик), то это будет нерелевантно для всех физических целей, потому что бесконечных систем не существует.
В классическом случае вы не можете смешивать основные состояния; магнит указывает либо туда, либо сюда. В квантовом случае любая их суперпозиция будет немедленно декогерентна при взаимодействии практически с чем-либо еще. (Или, другими словами, любая проходящая мимо заряженная частица будет «измерять» направление и, следовательно, коллапсировать суперпозицию.) При конечной температуре становится возможным туннелирование между основными состояниями за счет тепловых флуктуаций, но это не сильно меняет выводы.
@knzhou, то, что вы говорите о конечных и бесконечных системах, кажется разумным. Однако аргумент, который я привел в пользу «отсутствия SSB в конечных системах», очень прост. Вы хотите сказать, что в этом аргументе есть изъян?
@knzhou, я согласен с тем, что чистое состояние, состоящее из симметричной суперпозиции состояний, нарушающих симметрию, должно быть неустойчивым к декогеренции. Однако, как я упоминал в своем предыдущем комментарии, я не уверен, почему равновесное состояние (которое актуально для SSB, верно?) должно быть чистым состоянием, а не смешанным. Принимая предел β → ∞ состояния Гиббса дает равное смешанное состояние всех основных состояний, которое инвариантно относительно любой симметрии гамильтониана.
@OliverLunt Да, но одно дело математически постулировать, что система находится в состоянии Гиббса, и совсем другое — привести ее в это состояние в лаборатории. Это как попросить кого-нибудь приготовить кота Шредингера. Математический формализм не учитывает никаких внешних возмущений.
@knzhou Я не понимаю, что ты имеешь в виду. Существует достаточно экспериментальных данных, позволяющих предположить, что состояние системы, оставленной для термического уравновешивания, будет (хорошо аппроксимируемым) распределением Гиббса.
@OliverLunt При высоких температурах, конечно. Но при низких температурах распределение Гиббса описывает систему, находящуюся в тепловом равновесии с идеальной термальной ванной при нулевой температуре, то есть идеально изолированную систему. Это та часть, которая нереальна. Независимо от температуры, распределение Гиббса не может объяснить поле от магнита на холодильник в другой комнате, или за то, что кто-то в коридоре включает микроволновую печь, или за примеси в кристалле, потому что они не являются частью идеального термальная ванна. При более низких температурах эти эффекты становятся относительно более важными.
Вот еще один способ выразить это. Все состояния действительно чисты; вы используете смешанные состояния только тогда, когда вам не хватает информации (например, о самой системе или, возможно, о состоянии среды). Так что, может быть, вы можете сказать Т знак равно 0 состояние магнита смешанное, потому что какой-то старшекурсник охладил магнит для вас, и вы не знаете, в какую сторону он в итоге указывал. Но вы можете просто войти в комнату и посмотреть на нее, и тогда вы сможете относиться к ней как к чистому состоянию. (Это просто еще один способ сформулировать декогеренцию/измерение, о котором я говорил ранее.)
Хотя это не имеет большого значения для физической системы, математически бесконечные и конечные системы очень разные. Для конечных систем dechorence не существует, всегда есть время повторения, когда снова появляется исходное состояние. Это время стремится к бесконечности по мере увеличения размера системы, и подсистемы могут казаться термальными, как это происходит в бесконечных системах. Но в бесконечных системах информация о начальном состоянии распространяется на бесконечность и система никогда не повторяется.

Ответы (2)

Именно этим вопросом занимается и строго занимается Н.П. Ландсман . Объясняется это тем, что в большом Н пределе симметричное основное состояние становится экспоненциально чувствительным к асимметричным возмущениям, в то время как первые возбужденные состояния, хотя и неустойчивые, становятся очень близкими по энергии к симметричному состоянию и экспоненциально медленно затухают в любом направлении, таким образом, система динамически оказывается в состоянии с нарушенной симметрией уже на конечной очень большой Н .

Не уверен, что это соответствует вашей головоломке, но: когда вы пишете что-то вроде [ р , грамм ] , вы думаете об измерении существования симметрии, глядя на ожидаемое значение самого оператора. Однако в полностью квантовом смысле вы должны определять симметрию с ожиданием корреляторов, отличных от самих операторов.

Вы можете найти здесь полезное примечание к Лек.1, в котором в качестве примера использовалась поперечная модель Изинга, а определение SB упоминается на стр.9.

https://learning-modules.mit.edu/materials/index.html?uuid=/course/8/fa17/8.513#materials

Привет, я знаю, что это было некоторое время назад, но не могли бы вы поделиться записью лекции, которая у вас была? Я не мог получить к этому доступ сам... Спасибо заранее.
Если спонтанное нарушение симметрии происходит только в бесконечных системах, почему мы наблюдаем подобные эффекты в конечных системах?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v