Возможно, лучше, есть ли доступная версия Principia? Я ищу краткое изложение, которое подытожило бы и прояснило рассуждения Рассела, лежащие в основе его знаменитого вывода о том, что 1 + 1 = 2.
Для вводного изложения вы можете увидеть: Ричард Зак, Principia Mathematica and the Development of Logic (2010).
Более подробное изложение находится в: Ivor Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940 , Princeton UP (2000), Ch.7 .
Проблема в том, что «стандартное» доказательство 1+1=2 из аксиом Пеано довольно простое: требуется очень мало строк, начиная с определения 1 и 2 и аксиомы для + .
Вместо этого в PM аксиомы Пеано сами выводятся из более основных принципов и определений, и это намного длиннее.
Как видно из перепечатки первых глав: Alfred North Whitehead & Bertrand Russell, Principia Mathematica to #56 , Cambridge UP (2-е изд. 1927 г.), определение 1 находится на странице 345: Def 52.01 .
Само по себе определение довольно простое:
1 = класс всех классов α таких, что α = { x } для некоторого x (Def).
{ x } -- это singleton , т.е. класс с единственным элементом x . Таким образом , 1 определяется как класс всех классов, состоящий ровно из одного члена.
Первый результат, доказанный из него:
52.1 класс α ∈ 1 тогда и только тогда, когда α = {x} для некоторого x .
Как видите, уровень детализации очень высок.
Тогда у нас есть (стр. 358) определения 0 и 2 ; из них доказано несколько дальнейших результатов:
54.101 класс α ∈ 2 тогда и только тогда, когда существуют x, y такие, что x≠y и α = {x} ∪ {y} .
54.102 класс α ∈ 0 тогда и только тогда, когда α — пустой класс.
Наконец (стр. 360) мы приходим к:
54.43 если классы α, β ∈ 1 , то α ∩ β пусто тогда и только тогда, когда α ∪ β ∈ 2 .
Из этого предложения будет следовать, когда арифметическое сложение будет определено [выделено мной], что 1 + 1 = 2 .
Не здесь
Фрэнк Хьюбени
Марк Эндрюс
Метки.