Как понимать числа, которые становятся действительно большими?

Я несколько пересмотрел свой ответ, уплотнив его в некоторых местах и ​​добавив другие идеи в ответ на ваш пересмотр вашего вопроса.

Рассмотрим сначала числа, включающие один «концептуальный сдвиг», на который ссылается цитата Хофштадтера. Вы вполне можете пожаловаться на то, что, хотя явно может быть минимум 300 чего-либо ( например,  маркировка полых кругов), насколько нам известно, никогда не может быть измеримо 10 ^{300 .}чего либо. Допустим ради аргумента, что последнее утверждение верно. Все это означает именно то, чему неявно учат студентов-физиков в средней школе: у нас есть математические модели мира, которые, поскольку они просты, не в состоянии уловить сложности, присущие миру. Точно так же, как мы созерцаем совершенно твердых сферических коров, падающих в вакууме под действием совершенно однородного гравитационного поля, мы можем представить себе множество объектов, которые настолько велики, что мы даже не можем представить себе, как конкретно будет выглядеть такая совокупность объектов. и которые вряд ли когда-либо будут представлять явления, с которыми мы когда-либо столкнемся. Причина того и другого заключается в простой формулировке моделей в обоих случаях: ньютоновская механика, с одной стороны, арифметика — с другой.

Идея наложения слоев концептуальных сдвигов, предложенная Майклом Дорфманом в комментариях к его собственному ответу, сродни обозначению стрелки вверх Кнута . Но суть этой и даже знакомой нам индо-арабской системы счисления в том, что мы имеем дело с числами только через их репрезентации (даже если эти репрезентации представляют собой визуальные образы таких объектов, как яблоки). Гугол, с грубой практической точки зрения, невообразимо велик (в том смысле, что гугол объектов — это не то, что вы можете себе представить), а гуголплекс невообразимо больше (в том смысле, что на самом деле невозможно представить, сколько коробок с гугол-объектов достаточно для создания гуголплекса). Но тот факт, что мы можем представить их в виде 10 ^{10 2} и 10^{10 10 2} означает, что мы все еще можем говорить о них и как-то абстрактно представлять числа.

Является ли возможность записывать такие абсурдно большие числа обманом — скрывает ли это тот факт, что мы каким-то образом не можем полностью понять значение этих чисел? Что ж, да, возможно, это скрывает тот факт, что мы на самом деле не понимаем эти числа, за исключением того, что произносим их имена, чтобы указать на банальные вещи, такие как то, что они кратны 2 и 5, и являются идеальными квадратами и т. д. Но это не так . не обманываю; мы также хуже понимаем такие числа, как 300, чем число 3, и используем то же расширение наших когнитивных способностей, чтобы попытаться разобраться с 300, представляя себе три группы по десять групп по десять. Почти вся математика, даже арифметика, в этом отношении косвенна, и хотя некоторые люди могут воспринимать большее количество чисел несколько напрямую, мы в конечном счете полагаемся насильно сжатые описания чисел , чтобы рассуждать о количестве. Как таковые, мы ограничены в нашем созерцании чисел теми, которые мы можем легко каким-то образом описать ; и мы можем рассуждать об этих числах только так, как позволяют наши представления. В древние времена умножение было трудным для тех, кто полагался на римские цифры; Точно так же наше представление гуголплекса дает нам мало интуитивных представлений о том, например  , каково следующее по величине простое число после гуголплекса.

Как и в библиотеке Борге, «большинство» чисел не имеют простого представления; и даже те, которые имеют, могут иметь внешне похожие представления, из-за чего их трудно осмысленно различить. На самом деле, если «простое» представление должно иметь не более чем некоторую длину, то все числа, кроме конечного числа, выходят за пределы человеческого разума. Означает ли это, что они избегают логики? Что ж, это определенно означает, что мы не можем с ними договориться; но это также означает, что нам никогда не придется беспокоиться (или, что более важно, мы не в состоянии беспокоиться) об их свойствах каким-либо продуктивным образом. Опять же, как и в случае с книгами в библиотеке Борге, большинство чисел — тарабарщина ; они не имеют для нас особого значения.

Если вы предполагаете, что «логика» — это человеческая забота о структуре мира, а реальность просто «есть», то беспокоиться о потенциальной нелогичности чисел, которые настолько велики, что их невозможно представить в реальности, — значит беспокоиться о контрфактуален и поэтому не имеет никакого значения, кроме того, насколько нас развлекает этот вопрос.

Я собираюсь изложить более точную форму этого вопроса после переписки с ОП в автономном режиме. Я надеюсь, что это все еще отражает цель вопроса:

В идеальном мире, где я никогда не состарюсь и не проголодаюсь, я смотрю на гигантский компьютерный экран, на котором достаточно места для отображения триллионов, квадриллионов или даже сотен миллионов символов или цифр.

Я настроил компьютер так, чтобы на мгновение он показывал «1», затем на мгновение «10», затем «100», затем «1000» и так далее. Каждый момент (возможно, раз в секунду) появляется еще один 0. Каждый раз, когда появляется 0, отображается новое число.

Могу ли я смотреть это «вечно» и воспринимать новое число каждый раз, когда добавляется 0? Или есть предел моей способности воспринимать, понимать или запоминать то, что я вижу? В какой степени это ограничивает то, как мы, люди, можем понимать числа и системы счисления?

Я считаю, что есть предел способности людей воспринимать, понимать то, что они видят, и запоминать то, что они видели.

Каждый раз, когда появляется новый «0», он явно отличается от того, что было минуту назад. Я также знаю , что каждое число, которое я вижу, отличается от всех чисел, которые я видел раньше. Но со временем я буду неоднократно испытывать чувство «то, что я вижу, очень большое, и я наблюдал очень-очень долгое время». С течением времени это чувство будет все более и более распространенным, и, в конце концов, я окажусь в точно таком же психическом состоянии, в котором был раньше.

Предположим, я пытаюсь подсчитать, сколько нулей есть? Я могу приучить себя запоминать множество фактов, вещей, которые можно записать буквами и словами.

Ум может запомнить много информации. Возможно, у вас достаточно места в голове, и если бы все это было записано, то потребовалось бы миллиард = 10 ^ 9 букв. Это означает, что у вас может быть примерно 26^(10^9) различных психических состояний, потому что существует столько же различных комбинаций миллиарда букв в 26-буквенном алфавите.

С моими умственными способностями 26 ^ (10 ^ 9) я «подсчитываю» 0 по мере их отображения и отслеживаю это своим психическим состоянием. Когда есть 876 нулей, у меня в голове есть число «876». На огромном экране компьютера около 10^3 нулей, а у меня в голове 3 цифры. Поскольку я могу удерживать в уме «около миллиарда букв», это означает, что я могу «сосчитать» 0, пока на экране не будет около 26 ^ (10 ^ 9) нулей. Затем, из-за ограниченных возможностей моего ума, я должен сбиться со счета. Кроме того, любое восприятие того, насколько велико это число, должно быть субъективным. Со временем у меня будет одно и то же «действительно большое» психическое состояние дважды. Самое большое число, которое я могу понять, не запутавшись в том, что это какое-то другое число, меньше 10^(26^(10^9)).

Это похоже на «теорему о возвращении Пуанкаре», с которой связан ОП, применительно к уму. Это одно из естественных ограничений, влияющих на то, насколько хорошо мы можем думать о больших числах. Я не говорю о буквальной теореме Пуанкаре, которая является очень точной и математической. Я просто использую это как метафору: если поле имеет ограниченный конечный размер и вы ходите по нему бесконечно, вы в конце концов ступите на то место, где ступали раньше.

В нашем автономном обсуждении ОП предположил, что мы можем получить большие числа, запрограммировав компьютер на отображение 2, затем 2 ^ 2, затем 2 ^ 2 ^ 2, затем 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 или (используя слова) он может отображать «zwei», затем «zweizenzic», затем «zweizenzizenzic» и т. д. (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Zenzizenzizenzic ). Экран заполняется цифрами 2 или буквами «zenzi». Еще раз наступит момент, когда я больше не смогу видеть, что что-то меняется, или, возможно, я увижу, как это изменится, но мое состояние ума в конце концов вернется к точке, где оно было некоторое время назад. Я знаю, что с каждым мгновением оно становится все больше, но даже это состояние знания в конце концов вернется в точно такой же форме.

Мы можем сделать то же самое с любой математической нотацией, такой как g(1), g(g(1)), g(g(g(1))), ... где g(N) - "g- функция " описано на странице Википедии «Graham's_number». На этот раз вместо того, чтобы каждый раз возводить в квадрат, числа становятся больше гораздо быстрее. Возможно, я приучил себя понимать, что это значит. Если это так, я мог бы наблюдать за тем, как на экране компьютера отображается "g(1)", затем "g(g(1))", затем "g(g(g(1)))" и так далее... но снова, в конце концов, мой разум достиг своего «повторения Пуанкаре».

Никакие усилия с использованием более сложных или замысловатых обозначений или методов абстрагирования и понимания не преодолеют конечный предел человеческого разума в восприятии, понимании и запоминании.

Все это очень похоже на то, о чем мой «Суперкласс 6», ближе к концу моего обсуждения больших чисел: http://www.mrob.com/pub/math/largenum-4.html#superclass

РЕДАКТИРОВАТЬ : я добавил простую аналогию для ссылки «Пуанкаре» и указал, что математическая теорема Пуанкаре не имеет значения. Речь идет о концепции повторного посещения одного и того же места в конечном пространстве.

Добавлен фрагмент «В какой степени ...» в конце переформулировки, чтобы попытаться охватить больше исходного вопроса.

У вашего мысленного эксперимента есть простой ответ: это не число, пока вы не уберете большой палец с клавиатуры. До тех пор это просто строка цифр. Размещение «1» (и, следовательно, его значение) не может быть интерпретировано до тех пор.

Обратите внимание, что это отличается от случая, когда вы вводите десятичный знак; в этом случае продолжающийся ряд цифр служит приближением к предполагаемому числу, потому что каждая цифра остается на своем месте.

Я хочу уточнить, что Махмуд имеет в виду под Числом? Он имеет в виду обычные целые числа с их арифметическими свойствами?

т.е. (N,+), то есть N=0,1,2,3,4,... с добавлением, если операция разрешена. Это самая ранняя арифметика, с которой нас знакомят в школе.

Позже нам говорят, что у нас может быть (N,+,x), то есть N=0,1,2,3,... с операциями сложения и умножения.

Гораздо позже или, возможно, намного раньше (когда десятичная система была изобретена в Индии и раньше в Китае) стало понятно, что представление целых чисел не обязательно должно быть по основанию 10, оно может быть по основанию 3, или 123, или чаще всего сейчас, но скрыто от нас в базе 2. т.е. 0,1,10,11,100,...

То есть представление целого числа не является самим целым числом.

Хотя я сказал, что (N,+) — это первая система счисления, с которой мы познакомились, на самом деле это не совсем правильно. Младенцы в шесть месяцев могут различать очень маленькие числа (КХЧ). (Их эксперимент тщательно различает группу из двух и трех яблок в качестве акта наименования , чтобы понять 1, 2 или 3). Именно тогда они начинают ценить усеченные N=0,1,2,3.

Но число есть также и количество, то есть оно имеет величину; когда младенцы приобретают это знание?

Согласно (MLF), они приобретают эти знания к тому времени, когда им исполняется четыре года. (Лично я думаю, что их методология ошибочна; они не учитывают способность младенцев различать на основе длины, которая также является чистой величиной, и, учитывая взаимосвязь между числами и геометрией — реальная линия — имеет смысл. Я подозреваю, способность к различению приходит гораздо раньше, младенец до четырех лет уже точно различает, что он предпочитает - две конфеты или четыре конфеты, им не нужно формально считать, они могут просто видеть величину разницы, а я не знаю . не думаю, что это следует сбрасывать со счетов - или, по крайней мере, выделять)

Таким образом, наше самое раннее дошкольное понимание — это N, а затем — (N, <).

Теперь Кантор обобщил число в этом смысле — смысле величины — то есть он распространил (N, <) на множества и, следовательно, изобрел кардиналы. То, что существует своего рода арифметика кардиналов, является побочным продуктом. Итак, чтобы понять большие числа, мы отправимся в так называемую трансбесконечную область.

Но современные теоретики множеств изобрели большие кардинальные аксиомы, и их можно упорядочить по силе непротиворечивости. До сих пор не существует общепринятой теории больших кардиналов, хотя Шелах размышляет, «является ли наше видение более единообразным, чем мы подозреваем».

Я предполагаю, что их меньше сотни или около того, расположенных по порядку, так что в некотором смысле мы вернулись к началу, когда в годовалом возрасте мы могли считать, скажем, до сотни... (возможно, пример вечного возвращения Ницше в платоническом мире).

Я предлагаю другую точку зрения на то, что, как я понимаю, здесь делают некоторые плакаты, а именно на обсуждение компактных средств представления «больших» чисел, взятых из конечной области (это вопрос обозначений), и что они могут означать, если мы не можем конкретно выразить их. т.е. как много яблок. Возможно, это не совсем ответ на вопрос Махмуда на его собственных условиях...

заметки

KHH: Кобаяши Т., Хираки К., Хасегава Т. Аудиально-визуальное интермодальное сопоставление малых чисел у 6-месячных младенцев.

XA: Сюй Ф., Арриага Р.И. Различение чисел у 10-месячных детей

MLF: Малдун К., Льюис С., Фрэнсис Б. Использование мощности для сравнения величин

Все в числовых знаниях в раннем детстве, Кэтрин Софиан, доктор философии

Человеческий мозг ограничен в своей способности сжимать и абстрагироваться от чисел. Я проделал некоторую работу с большими порядковыми номерами, но, несмотря на то, что у меня хорошая интуиция, я запутался в гуголах, гуголплексах, функции Аккермана, применяемой к аргументам больше 6, порядковом номере Грэма и тому подобном. Есть несколько способов закодировать невероятно большие числа в очень коротких строках, но они на самом деле не помогают, потому что это очень короткие формулы, которые сбивают с толку.

Люди состоят из мозгов, мозги конечны, существует наибольшее число, которое человеческий разум способен вообразить в своем объеме КЭД.

PS. ИМХО, действительно большие числа не так уж и интересны.