В то время как проблемы тождества, по-видимому, имеют большее значение в философии, на самом деле меня больше интересует значение «эквивалентности», символизируемой знаком (=) и, в связи с виной, товарным обменом.
Очевидно, что 1+1=2 не является тождеством, равно как и 1=1, поскольку левая 1 и правая 1 пространственно различны. Тождеству неразличимого Лейбница, по-видимому, нет места в математике... и, возможно, ни в какой «мыслимой» реальности. Исключают ли понятия «пространство» и «время» тождество и составляют ли основу бинарной «эквивалентности»? Является ли эквивалентность просто синонимом «замены» внутри какой-то структуры?
Во всяком случае, мне интересно знать, хорошо ли определена эквивалентность (=) в отличие от тождества в философии, логике или математике... или есть ли интересные обсуждения этой парадоксальной и распространенной концепции.
Классически разницы нет. Identity — это двухзначный предикат, который имеет значение true, если его аргументы численно идентичны, и false в противном случае. Такой предикат можно записать как Identical(x,y) или как x=y. Последнее — просто «синтаксический сахар», который облегчает чтение предложений, но выражает то же самое. Именно так тождество используется в логике, в частности, в логике предикатов и, в более широком смысле, в математике.
Сказать, что 1=1, не выразить тождество, потому что существует пространственная разница между левым и правым, значит спутать вещь с символом, который ее обозначает. Число один тождественно самому себе. Конечно, возникает серьезный вопрос о том, как символы обозначают вещи, и по этому поводу ведется много споров. Фреге считал, что имена — это своего рода сокращенное определенное описание, но это лишь одно из многих объяснений значения имен.
Существует множество контекстов (интенсиональных контекстов), в которых отношения тождества кажутся нарушающими неразличимость тождественного. Например, «Мэри знает, что Джордж Оруэлл написал «1984»» может быть правдой, а «Мэри знает, что Эрик Блэр написал «1984»» может быть ложным (даже если Джордж Оруэлл = Эрик Блэр). В общем это означает, что, хотя данное отношение тождества может соответствовать чисто экстенсиональной эквивалентности в конкретной логике, может существовать более выразительная логика, в которой это отношение тождества не является экстенсиональным.
Фреге, Куайн, Гич и Даммет заслуживают изучения по этому вопросу. Статья SEP об идентичности является полезным введением.
Эквивалентность — фундаментальное понятие математики, возможно, даже самое элементарное фундаментальное понятие. Отношение эквивалентности используется для абстракции:
У одного есть набор объектов ob, и он хочет сгруппировать их в классы, чтобы все члены каждого класса имели одно и то же свойство. Все члены одного класса эквивалентны по данному свойству, но не равны.
Простым примером является класс четных чисел и класс нечетных чисел. Каждое целое число попадает ровно в один класс. Теперь формируется множество FF_2 с этими двумя классами в качестве его элементов. Обозначим через «0» класс «Четные» и через «1» класс «Нечетные». Затем вы можете получить сложение и умножение для двух элементов FF_2 из соответствующих операций над множеством целых чисел. Например, в FF_2 определяется 1 + 1 := 0, потому что «нечетное» + «нечетное» равно «четному».
Следовательно, можно перейти от бесконечного множества целых чисел к конечному множеству FF_2, введя отношение эквивалентности. И это отношение эквивалентности касается сложения и умножения.
Приведенная выше конструкция означает считать эквивалентными два целых числа тогда и только тогда, когда они дают одинаковый остаток при делении на n = 2. Такая же конструкция может быть достигнута для деления на произвольное ненулевое n. Результатом являются остальные классы по модулю n, т.е. множества с элементами 0,1,2,...,n-1. Также здесь четко определены сложение и умножение.
Будучи программистом, я мог бы смотреть на это немного иначе, чем другие.
Я отношусь к идентичным и равным как к разным вещам, главным образом потому, что так делают некоторые языки программирования.
В большинстве случаев обе вещи будут идентичными и равными, но в некоторых случаях они могут быть только равными, например:
1 и 1 идентичны и равны (одинаковое значение, один и тот же тип).
1 (число) и 1 (текст) равны, но не идентичны (одно и то же значение, но они разного типа. Если вы не программист, вы, вероятно, подумаете: «Эй, как это вообще возможно, что число на самом деле не число ?», но у вещей могут быть разные «состояния» (назовем это так).
Таким образом, я вижу это как равное, являющееся одинаковым, и идентичное, являющееся точно таким же.
1и "1", потому что функция equals принимает только аргументы тот же тип (конечно, вы можете написать свою собственную функцию equals для этого, но строгая типизация — это благословение, а не проклятие).Если подобное подобно подобному , то непохоже на подобное непохожее или отличается? А если различно, то Бытие не может быть единым — аргумент, который Сократ приводил к Пармениду.
Но это не то, как равенство теоретизируется в математике.
Если вам интересно, как мыслится математическое равенство, возможно, вам стоит взглянуть на то, как равенство теоретизируется в теории категорий; здесь есть запись в блоге Баэза о его эссе о «концепциях одинаковости», которая как раз об этом.
Коробка сама по себе — тождество; и в этом смысле здесь ничего не сказано; но что мы скажем, если увидим, что ящик не просто ящик сам по себе, но так расположен в пространстве? Был ли он расположен в пространстве несколько иначе - скажем, я сдвинул его немного влево; будет такая же коробка?
Очевидно, да.
Но это просто сводится к тому, что было раньше; ибо я взял это из пространства, чтобы так сказать - в некотором смысле, в некотором смысле; но на самом деле это не так - ибо я этого не делал; так сказать, для иллюстрации.
Итак, взять коробку по отношению к пространству; с точки зрения его отношения мы видим, что оно иное, неравное; а еще такой же.
Х=Х
а также
Х!=Х
Итак, что-то вроде гераклитовского тезиса о единстве противоположностей; отброшено Аристотелем - но не - совсем - так, ибо он отбрасывал банальности; которые являются высказываниями, пустыми из-за повторения или из-за того, что они возносятся, как знамя, над бытием.
Или, как в первом стихе Дао :
Эти двое появляются вместе
Но отличаются по природе
Говорят, что Единство — это Тайна
Или, в последнем стихе Борхеса Ars Poetica :
Tambien es como el rio бесконечный
Que pasa y queda y es cristal de un mismo
Heraclito inconstante, que es el mismo
Y es otro, como el rio бесконечный
Так и время для математических операций, даже когда они происходят во времени, никогда не экземплифицирует время: если А сейчас есть А, а позже есть В; если изменение есть континуум, то А и В в некотором смысле одинаковы; но если А действительно отличен от В и, таким образом, действительно отличен, то когда и как может произойти изменение? Это вопрос становления и бытия: я могу сказать, что становление есть , и это бытие есть ; но это не влечет за собой их онтологической редукции; для Аристотеля, по крайней мере в одном смысле, бытие есть предел становления.
В компьютерных науках эквивалентность заметно отличается от идентичности настолько, что компьютерные языки часто предоставляют и то и другое как отдельные синтаксические единицы.
Я обнаружил, что во многих средах эквивалентность и идентичность рассматриваются как разные. Эквивалентность всегда требует некоторой метрики, с помощью которой определяется эквивалентность («Заткнись и просто возьми яблоко, Джонни. Они оба одинаково хороши!»). Идентичность обычно рассматривается скорее как внутренняя характеристика.
Чаще всего я нахожу, что два слова трактуются по-разному в философии, — это сценарии, обрабатывающие идентичность в присутствии клонирования. В этих ситуациях легко создать два эквивалентных клона, но менее ясно, существует ли тождественное отношение или нет. В связи с этим концепция корабля Тесея является основным вопросом философии идентичности. Всем всегда ясно, что корабль после ремонта равноценен кораблю до ремонта, но спор идет, идентичен он или нет.
Я нахожу, что люди часто стирают грань между эквивалентностью и идентичностью в ситуациях, когда существует настолько очевидное отношение эквивалентности, что оно «превращается» в отношение идентичности. Это легко увидеть во фразе «1+1=2», которая буквально переводится как «один плюс один равно двум», но часто озвучивается как «один плюс один равно двум».
Джозеф Вайсман