Одной из современных тенденций среди философов-математиков было применение категориальных основ к логике. Ловер, вероятно, наиболее известен своим использованием закрытых декартовых категорий в различных парадоксах. ( источник )
Была ли какая-либо заметная критика теорий Ловера с философской точки зрения?
Я мало что знаю о дебатах, но я знаю, например, что Соломон Феферман написал пару статей на эту тему, например, «Категорические основы и основы теории категорий». Джон Белл также критически исследовал этот вопрос в «Теории категорий и основаниях математики».
Более того, я уверен, что вы могли бы найти больше в разделе библиографии статьи SEP о теории категорий .
Было много свирепой критики со стороны теоретиков множеств, возможно, производящих больше тепла, чем света, поскольку они рассматривают категориальные основания как вторгающиеся на их собственную территорию.
Большинство философов, интересующихся основами, обучены основам в стиле ZFC. Теория категорий не добилась здесь большого успеха, но это, вероятно, изменится в будущем, так как важность теории категорий как структурирующего устройства в математике только возрастает, и все больше философов обучаются теории категорий.
В то время как ZFC обычно преподается на первом курсе бакалавриата, понимание категориального взгляда можно получить только после того, как будет освоен значительный объем сложной математики, скажем, к концу первого года обучения в магистратуре.
Ловер, безусловно, проделал большую работу в области категориальных основ, но ключевой концепцией является концепция Топоса, которая является обобщенной теорией множеств, к которой привязана имплицитная логика (через ее внутренний язык, который обычно является той или иной формой теории типов). ) и геометрической интерпретации (через пучки).
Важным наблюдением является то, что логика не булева, а интуиционистская, что аксиома выбора не всегда поддерживается и что они не обязательно имеют бесконечный объект. Когда они утверждаются, тогда, конечно, мы имеем гораздо более похожий на множество топос. Конечно, существует огромный зоопарк топосов, а не уникальный ZFC, который, как предполагается, имеется.
В n-lab, репозитории теоретико-категориальных работ теоретиков категорий высших измерений, есть ссылка на Foundations .
Можно было бы предположить, что философская школа, известная как структурализм, могла бы многое сказать о теории категорий, поскольку структура является понятием, пронизывающим обе области. Но структурализм больше связан с архитектурой, лингвистикой (его прародиной), литературоведением и антропологией, чем с математикой, так что существенное совпадение между двумя областями фактически равно нулю.
Принимая во внимание, что ZFC - это финал редукционизма в математике - сведение всей математики к множествам, а затем множества к логике + аксиомам; Теория категорий считает, что каждая математическая деятельность имеет свое естественное место, свое собственное место — вместо строго иерархического взгляда она смотрит на более широкий относительный, внутренний и естественный взгляд — это не Декарт.
Статья, на которую вы ссылаетесь, является собственно математикой, а не философией - структурное сходство некоторых аргументов в парадоксах, которые пересматривает Ловер, уже было отмечено и просто обычно упоминается как диагональный аргумент в честь первого использования Кантором этого вида аргумента. чтобы показать, что континуум имеет большую мощность, чем целые числа. После изобретения Маклейном теории категорий появилась возможность поместить эти аргументы во множество различных контекстов в систематическом формате.
Использование закрытых декартовых категорий, вероятно, также является отвлекающим маневром — по сути, это категории, в которых понятие экспоненты встречается естественным образом и удовлетворяет обычным законам. Учитывая, насколько распространена экспонента в обычной математике, казалось бы «очевидным», что то же самое понятие было бы столь же полезным в более общих контекстах, связанных с математикой, таких как категории групп или колец и т. д. Это оказалось так. Оттуда всего один шаг, чтобы исследовать, что за зверь является декартовой закрытой категорией. На самом деле, я думаю, это не принципиальный вопрос.
умныйпещерный человек