Все мы знаем, что существование спинорных полей подразумевает, что пространство-время должно быть ориентировано во времени. Таким образом, то, что пространство-время ориентируется во времени, является необходимым условием существования спинорных полей.
Героч, Р. (1968). Спинорная структура пространства-времени в общей теории относительности I, J. Math. физ. 9, 1739-1744 доказали эту теорему: в некомпактном пространстве-времени существование 4-х непрерывных векторных полей, составляющих тетраду Минковского в каждой точке, необходимо и достаточно для существования спинорных полей.
Мои вопросы:
Существуют ли для компактного пространства-времени необходимые и достаточные условия существования спинорных полей?
Для общего -мерные лоренцевы многообразия, каковы необходимые и достаточные условия существования спинорных полей?
Продвинутая классическая теория поля (2009) Джачетты, Мангиаротти, Сарданашвили отмечает на с. 248:
- Некомпактное мировое многообразие допускает спинорную структуру Дирака тогда и только тогда, когда оно параллелизуемо.
- Для компактного мирового многообразия , его эйлерова характеристика и второй класс Штифеля-Уитни должен быть равен нулю, а его первое число Понтрягина должно быть кратно 48.
и дает ссылки
Героч, Р. (1968). Спинорная структура пространства-времени в общей теории относительности, J. Math. физ. 9, 1739.
Уистон, Г. (1974). Темы по топологии пространства-времени, Int. Дж. Теор. физ. 11, 341.
Предполагается, что мировые многообразия являются ориентируемыми, односвязными и четырехмерными, поэтому вам нужно посмотреть ссылки, чтобы увидеть, применимо ли это к произвольным измерениям.