Есть ли причина, по которой релятивистская квантовая теория одного фермиона существует, а одного скаляра нет?

Я не знаю, удовлетворится ли ОП этим ответом на первоначальный вопрос, но я хотел бы предложить всему этому некоторый контекст.

Свободная частица имеет однородный потенциал, поэтому без ограничения общности$V=0$. Тогда уравнение Шредингера упрощается до

$$\dot{\psi}=\frac{i\hbar}{2m}\nabla^2\psi\quad\left(1\right)$$ так $\dot{\rho}=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi^\ast\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^\ast\right\}$. Поскольку вероятность сохраняется, она допускает уравнение неразрывности; вероятность 3-ток $\mathbf{j}$подчиняется $\nabla\cdot\mathbf{j}=-\dot{\rho}$. Мы можем выбрать $\mathbf{j}:=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi\boldsymbol{\nabla}\psi^\ast-\psi^\ast\boldsymbol{\nabla}\psi\right\}$(мы можем добавить произвольный завиток к $\mathbf{j}$). Если релятивистская теория одной частицы работает, то, по крайней мере, свободная частица в пространстве Минковского должна быть прямой. В специальной теории относительности уравнения неразрывности могут быть записаны как $\partial_\mu j^\mu=0$. Вы можете проверить, удовлетворяется ли это уравнение решениями масс- $m$Уравнение Клейна-Гордона $$c^{-2}\partial_t^2\psi-\nabla^2\psi+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2=0,\quad\left(2\right)$$ если мы определим $j^\mu\left(\psi\right):=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi\partial^\mu\psi^\ast-\psi^\ast\partial^\mu\psi\right\}$, что является естественным релятивистским обновлением $\mathbf{j}$. Поэтому естественно предположить подходящий интеграл от $j^0$выдает вероятности.

Но тут мы подходим к проблеме. Если$\phi,\,\psi$являются равномассовыми решениями уравнения Клейна-Гордона, у нас также есть сохраняющийся интеграл, называемый их внутренним произведением Клейна-Гордона ,

$$\left\langle\phi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}:=i\int_{\mathbb{R}^3}\left(\phi^\ast\partial^0\psi-\left(\partial^0\phi^\ast\right)\psi\right)d^3\mathbf{x}.$$ Название вводит в заблуждение, потому что это не настоящий внутренний продукт; $\left\langle\psi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}=\frac{2m}{\hbar}\int_{\mathbb{R}^3}j^0\left(\psi\right)d^3\mathbf{x}$может быть отрицательным. Действительно, решения уравнения (2) замыкаются при выполнении операции $\psi\mapsto\psi^\ast$, что умножает $\left\langle\psi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}$к $-1$. уравнение (1) явно не имеет аналогичной проблемы (иначе не существовало бы ее обычной вероятностной интерпретации). Причина в том, что если мы хотим $\psi\mapsto\psi^\ast$чтобы отправить решение Шредингера решению Шредингера, мы также должны наложить $t\mapsto -t$, который также умножает внутренние продукты Клейна-Гордона на $-1$.

И причина, по которой решения Шредингера требуют обращения времени, а решения Клейна-Гордона — нет, заключается в четности$\partial_t$экспоненты. У Шредингера показатель степени нечетный (это$1$); в Кляйн-Гордон показатель степени четный (это$2$). Для классического пробного камня эти паритеты также являются причиной$E=\frac{p^2}{2m}+V$дает уникальную энергию, но

$$E^2=m^2c^4+p^2c^2\,\quad\left(3\right)$$ нет.

В настоящее время мы знаем, что способ обработки решений уравнения Клейна-Гордона с «неправильным знаком» состоит в том, чтобы (i) записать решения как суммы частей с «положительной частотой» и «отрицательной частотой», которые меняются местами при комплексном сопряжении (так их пространства имеют основания, сопряженные друг с другом основаниями) и (ii) говорят, что наши пространственные интегралы вычисляют разности между числами частиц и античастиц.

Давайте теперь подумаем об уравнении Дирака. Дирак надеялся, что сможет собрать решения уравнения с отрицательной энергией. (3) с уравнением, которое, как и Шредингер, было первым порядком по времени. Вот как мы закончили с$\gamma^\mu\partial_\mu\psi=-im\psi$. На этот раз, чтобы закрыть решения под$\psi\mapsto\psi^\ast$мы должны добавить преобразование$x^\mu\mapsto -x^\mu$, чего более чем достаточно, чтобы объяснить вывод «на этот раз сработает». На этот раз у нас есть не только обращение времени, но и пространственный эквивалент, обращение четности . $\mathbf{x}\mapsto -\mathbf{x}$.

Кратко обсудим, что происходит с плосковолновыми решениями всех трех уравнений. Когда я спрягаю$\exp i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t\right)$решение (которого достаточно для КГЭ)$\mathbf{k},\,\omega$изменить знак. Когда я переверну время$\omega$возвращается к своему старому знаку (требование Шрёдингера), поэтому единственное общее изменение — это знак$\mathbf{k}$. Если я применю преобразование четности в конце (это нужно Дираку), даже это изменение знака в$\mathbf{k}$потерян. Так что на самом деле наша «симметрия» для решений Дирака вообще ничего не делает!

Последний вопрос заключается в том, какое отношение все это имеет к спину, бозонам и фермионам. Антикоммутаторы$\left\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right\}=2\eta^{\mu\nu}$в$4$-мерное пространство-время требуют, чтобы гамма-матрицы были не менее$4\times 4$, поэтому спинор Дирака$\psi$имеет по крайней мере$4$компоненты. Дирак понял, что симметрии решений уравнения Дирака (не вышеупомянутая «симметрия», а какие-то собственные!) связывают эти компоненты с комбинацией$2S+1$спиновое вырождение и фактор материи-антиматерии$2$, так$4S+2=4$и$S=\frac{1}{2}$. Теория Дирака подтвердилась не только предсказанием позитрона, но и окончательным объяснением спина как следствия теории относительности, тогда как до этого это был просто эмпирический факт, который нужно было добавлять к аксиомам квантовой механики без всякой видимой причины. Это подготовило почву для более поздних открытий, касающихся спина, таких как теорема о спиновой статистике. Пока отметим, что спин-$\tfrac{1}{2}$Спинор Дирака должен быть фермионом.

Подробные ответы на ваши вопросы приведены в 1-й главе этой книги: W. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, http://iate.oac.uncor.edu/~manuel/libros/Modern%20Physics/Quantum%20Mechanics/Relativistic%20Quantum . %20Mechanics.%20Wave%20Equations,%203rd%20ed.%20-%20W.%20Greiner.pdf

Он рассматривает уравнение Клейна-Гордона (KGE), его текущую интерпретацию и несколько связанных с ним дополнительных тем с впечатляющей глубиной.

Краткий ответ на вопрос : Пусть$\rho$— плотность вероятности, первоначально связанная с KGE. KGE был восстановлен как правильное уравнение для релятивистских частиц со спином 0, когда стало понятно, что$e\rho$вместо этого следует идентифицировать как плотность заряда, а решения с отрицательной энергией соответствуют античастицам, как и в уравнениях Дирака. Эта переинтерпретация сделала KGE инструментом для описания как заряженных, так и нейтральных частиц со спином 0. В цитируемой главе приводится несколько примеров, касающихся триплета пиона:$\pi^0$,$\pi^±$, и многое другое.