Матричная операция в матрицах Дирака

Это просто манипуляция с матрицей. Позволять$\sigma_i$матрицы Паули.

$$\begin{equation} \alpha_i p_i= \begin{pmatrix} 0& \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix} p_i . \end{equation}$$ $\alpha_i p_i= \begin{pmatrix} 0& p_1 \sigma_1 \\ p_1\sigma_1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& p_2 \sigma_2 \\ p_i\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& p_3 \sigma_3 \\ p_3\sigma_3 & 0 \end{pmatrix}$

Но$\sigma_1 p_1 = \begin{pmatrix} 0& 1 \\\ 1 & 0 \end{pmatrix}p_1=\begin{pmatrix} 0& p_1 \\\ p_1 & 0 \end{pmatrix}$,

$\sigma_2 p_2= \begin{pmatrix} 0& -i \\\ -i & 0 \end{pmatrix}p_2=\begin{pmatrix} 0& -ip_2 \\\ ip_2 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 p_3= \begin{pmatrix} 1& 0 \\\ 0 & -1 \end{pmatrix}p_3= \begin{pmatrix} p_3& 0 \\\ 0 & -p_3 \end{pmatrix}$

Теперь сложив их, мы получим ($1\rightarrow x$,$2\rightarrow y$,$3\rightarrow z$),

$$\begin{equation} \alpha_i p_i= \begin{pmatrix} p_z & p_x-ip_y \\ p_x+ip_y & -p_z \end{pmatrix} . \end{equation}$$

Уравнение, которое вы написали, делает только один выбор, который должен ответить на все вопросы об этом контексте: оно выбирает представление$\alpha_i$матрицы с

$$\alpha_i = \sigma_i$$ где $\sigma_i$— три матрицы Паули . Вы можете проверить это, если замените матрицы Паули (конкретные $2\times 2$матрицы, перечисленные в статье Википедии, ссылка на которую приведена в предыдущем предложении) для $\alpha_i$в левой части вашего уравнения вы получаете правую часть.

Если бы в вашей формуле была греческая буква$\sigma$вместо$\alpha$на левой стороне это было бы бесспорно. Однако с$\alpha$, это проблематично. $\alpha_i$матрицы действительно$4\times 4$, нет$2\times 2$, поэтому все приведенные выше уравнения должны быть интерпретированы так, чтобы каждая матричная запись матриц Паули на самом деле была блоком

$$z \to \pmatrix {z&0 \\ 0&-z }.$$ Мы говорим, что матрицы Паули были тензорно умножены на $2\times 2$единичная матрица (в определенном порядке). Этот дополнительный тензорный фактор на самом деле не может быть единичной матрицей, потому что невозможно найти какую-либо матрицу. $\beta$который антикоммутирует со всеми $\alpha_i$матрицы. Но может быть и другой $\sigma_z$, например, в этом случае $\beta$может быть выбран в качестве ${\rm diag}(\sigma_x,\sigma_x)$, например. В качестве альтернативы вы должны игнорировать источник и изучить некоторые/все стандартные представления матриц Дирака .

Во всяком случае, что-то небрежно в обозначениях, в которых$\alpha_i$были написаны как$2\times 2$матрицы и простейший рецепт получения$4\times 4$матрицы (тензорное произведение с$2\times 2$единичная матрица) не работает. Так что сначала нужно посмотреть, что$4\times 4$матрицы на самом деле означает ваш источник (если он вообще верен).