Этот векторный потенциал дает поле магнитного монополя, что с ним не так?

Да, у вас проблемы с этим потенциалом из-за сингулярности. Обратите внимание, что вам нужна сингулярность в$r=0$, так как вы говорите о точечном заряде (а электрический потенциал сингулярен в положении частицы).

Есть еще одна огромная проблема: вы знаете, что$\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=0$, поскольку вы берете градиент завитка. Из-за этого у вас не может быть магнитного заряда: помните, что для точечного заряда в начале координат$\vec \nabla\cdot \vec E=q\delta^3(\vec x)$. Что$\delta^3$фактор позволяет нам сказать, что в любом множестве, содержащем начало координат, у нас есть полный заряд$q$. Это не работает с магнитным полем, когда мы интегрируем наивным образом.

Эти две проблемы разрешимы с помощью введения понятия расслоений. Я постараюсь не использовать их, но знайте на будущее, что современная калибровочная теория сформулирована вокруг концепции пучков волокон, которые позволяют вам правильно описывать такие вещи, как магнитные монополи.

В ответ я сошлюсь на топологические солитоны Мэнтона и Сатклиффа. В главе 8 они обсуждают магнитные монополи.

Давайте проверим ваш потенциал. Я предполагаю, что ваша азимутальная координата$\theta$идет от$0$к$\pi$, как и должно быть, чтобы ваш потенциал работал. Вы можете выбрать один из двух потенциалов:

$$\vec A_+=\frac{g}{4\pi r}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\hat \phi,\quad\vec A_-=\frac{g}{4\pi r}\frac{-1-\cos\theta}{\sin\theta}\hat \phi.$$ Вы можете убедиться, что оба потенциала имеют $\vec B$как завиток, всякий раз $r\neq 0$, $\theta\neq 0$и $\theta\neq\pi$. Дополнительный $4\pi$фактор — это просто переопределение $g$, что удобно, поскольку делает поток магнитного поля равным магнитному заряду без константы пропорциональности. Какой потенциал мы будем использовать? Ответ "оба". Заметим, что первый потенциал неособ в $\theta=0$(северный полюс для определенности), а второй неособый в $\theta=\pi$(выполните предел: он существует и равен 0, поэтому вы можете непрерывно расширять определение).

Допустим, вы хотите найти магнитное поле на заданном расстоянии от монополя,$R$. Говоря современным языком, вы ищете магнитное поле на сфере радиусом 2$R$, что я позвоню$S^2_R$, при граничном условии, что поток этого магнитного поля по всему$S^2_R$граница должна быть равна магнитному заряду:

$$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=g,$$ где $\vec S$- вектор, направленный наружу от сферы.

Ключевым фактом является то, что сфера$S^2_R$не может быть описан простым набором координат$(\theta,\phi)$, не исключая один из полюсов. На языке дифференциальной геометрии у вас есть это$S^2_R$не является тривиальным многообразием, и вам нужно по крайней мере две системы координат, чтобы покрыть всю сферу. Позволять$\theta_N$и$\theta_S$быть такими углами, как$0<\theta_S<\theta_N<\pi$: вы можете использовать систему координат$(\theta_+,\phi_+)$где$0\leq\theta_+<\theta_N$и другая система координат$(\theta_-,\phi_-)$, где$\theta_S<\theta_-\leq\pi$. Теперь из-за того, что$\theta_S<\theta_N$, у вас есть, что эти две системы координат покрывают всю сферу в том смысле, что любая точка описывается хотя бы одним из таких наборов координат. Когда он описывается обоими множествами (как это имеет место для всех точек полосы$\theta_S<\theta<\theta_N$у вас должна быть функция перехода, которая связывает координату в наборе с координатой в другом (в этом случае вам просто нужно взять тот же$\theta$, но возможен и более сложный выбор).

Калибровочная теория над сферой — это (ПРЯМО ГОВОРЯ) задание калибровочного поля$\vec A$на любом участке сферы. Теперь мы можем сказать, что$\vec A_+$описывает потенциал в$(\theta_+,\phi_+)$системы, поэтому он простирается до северного полюса (где он неособый). Мы присваиваем потенциал$\vec A_-$к южному полюсу (где он неособый). Теперь, что мы можем сказать о перекрывающейся строке? Вы можете убедиться, что на полосе

$$\vec A_-=\vec A_+-\vec\nabla\left(\frac{g}{2\pi}\phi\right).$$ мне не нужно указывать $\phi_1$или $\phi_2$, поскольку карта перехода является тождественной. Это точно калибровочное преобразование! Благодаря тому, что поля связаны калибровочным преобразованием, можно сказать, что они описывают одно и то же физическое поле.

Как эта конструкция решает проблему магнитного заряда? Или здесь работает условие потока? Строгое (и быстрое) объяснение потребовало бы понятий интегрирования в дифференциальной геометрии, поэтому я выберу интуитивный ответ. Если вы возьмете$\theta_N$и$\theta_S$например, экватор$\theta=\frac\pi2$находится в области перекрытия, вы можете разделить интеграл как

$$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=\int_{NP}\vec\nabla\times\vec A_+\cdot d\vec S+\int_{SP}\vec\nabla\times\vec A_-\cdot d\vec S.$$ Здесь, $NP$означает $\theta<\frac{\pi}{2}$и $SP$означает $\theta>\frac{\pi}{2}$. Обратите внимание, что экватор не принадлежит $NP$или $SP$, но это линия, и интегралы от корректно определенных функций по этой линии равны $0$. Экватор является границей как для северного полюса, так и для южного полюса, поэтому мы можем использовать теорему Стокса: сразу же убедиться, что предыдущий интеграл равен двум линейным интегралам на экваторе, взятым один раз по часовой стрелке, а другой раз против часовой стрелки: $$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=\int_{equator}\vec A_{1}\cdot d\vec l-\int_{equator} \vec A_2\cdot d\vec l=2\pi R\left(\frac{g}{4\pi R}+\frac{g}{4\pi R}\right)=g.$$ Имейте в виду, это не правильный путь. Примите это просто для интуиции.

В заключение можно сказать, что магнитные монополи теоретически возможны, и потенциал для магнитного монополя может быть записан. Но вы должны использовать понятия координатных карт, чтобы определить потенциал без двусмысленности, и получить аналог закона Гаусса для магнетизма. Ваш потенциал является частью решения. Если вы действительно интересуетесь калибровочными теориями, вам придется изучить много дифференциальной геометрии и основы расслоения, чтобы иметь возможность делать более забавные вещи с калибровочными полями.