Эволюция во времени волновой функции в КМ

Question

Эволюция во времени волновой функции в КМ

Рик Пэн

Недавно я изучал квантовую динамику с помощью современной квантовой механики Сакураи, но меня смущает, почему оператор эволюции времени записывается как

U (т, т_{0}) "=" опыт [\frac{- я ЧАС (т - т_{0})}{ℏ}]

$U(t,t_0)=\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$ для независимого от времени гамильтониана, а

U (т, т_{0}) "=" опыт [- (\frac{я}{ℏ}) \int_{т_{0}}^{т} г т^{'} ЧАС (т^{'})]

$U(t,t_0)=\exp\left[-\left(\frac{i}{\hbar}\right)\int_{t_0}^tdt'H(t')\right]$ для зависящих от времени (коммутирующий случай). Я думаю, что, поскольку мы можем разложить волновую функцию по Тейлору на

t = t_{0}

$t=t_0$

\begin{aligned} ψ (Икс, т) & "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} \frac{1}{н!} ({(\frac{\partial}{\partial т})}^{н} ψ (Икс, т) |_{т "=" т_{0}}) (т - т_{0})^{н} \\ "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} \frac{1}{н!} ({(\frac{- я ЧАС}{ℏ})}^{н} ψ (Икс, т)) (т - т_{0})^{н} \\ "=" е^{\frac{- я ЧАС (т - т_{0})}{ℏ}} ψ (Икс, т) \end{aligned}

$\begin{align}\psi(x,t)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n\psi(x,t)\bigg|_{t=t_0}\right) (t-t_0)^n\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n\psi(x,t)\right)(t-t_0)^n\\ &=e^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}\psi(x,t) \end{align}$

нам нужно только знать значение $H$ в $t=t_0$ . Если это правда, то $U(t,t_0)=\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$ следует ли держать $H$ зависит от времени или нет. Что я здесь сделал не так?

Даниэль Санк

Откуда вы взяли, что

n^{th}

$n^\text{th}$ производная

(- i H / ℏ)^{n}

$(-i H / \hbar)^n$ ?

Рик Пэн

С

H ψ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ

$H\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ , у нас есть

H = i ℏ \frac{\partial}{\partial t}

$H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ , затем

{(\frac{- i H}{ℏ})}^{n} = {(\frac{\partial}{\partial t})}^{n}

$\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n=\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n$ . Поправьте меня, если я ошибаюсь, спасибо.

Ян Лалински

@Rick Pan, уравнение для производной

\partial_{t} ψ = 1 / (i ℏ) H ψ

$\partial_t \psi =1/(i\hbar)H\psi$ держится только для

ψ

$\psi$ . Это не обязательно выполняется для его производных.

Рик Пэн

@JánLalinský Спасибо за комментарий. Если предположить, что собственные состояния

H

$H$ образует полный базис, то мы должны быть в состоянии расширить его производные с полным базисом. Если это так, то это соотношение должно сохраняться и для его производных, верно?

Ян Лалински

@RickPan, нет, отношение не выполняется по причине, указанной yuggib - коэффициенты расширения также являются функциями времени. Канонический оператор импульса

p_{x}

$p_x$ всегда выражается как

- i ℏ \partial_{x}

$-i\hbar\partial_x$ , независимо от функции

ψ

$\psi$ может быть, но гамильтониан не всегда дается выражением

i ℏ \partial_{t}

$i\hbar\partial_t$ ; это верно только для специальных функций - решения зависящего от времени уравнения Шредингера.

Ответы (1)

Эволюция во времени волновой функции в КМ

Откуда вы взяли, что $n^\text{th}$ производная $(-i H / \hbar)^n$ ?
С $H\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ , у нас есть $H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ , затем $\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n=\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n$ . Поправьте меня, если я ошибаюсь, спасибо.
@Rick Pan, уравнение для производной $\partial_t \psi =1/(i\hbar)H\psi$ держится только для $\psi$ . Это не обязательно выполняется для его производных.
@JánLalinský Спасибо за комментарий. Если предположить, что собственные состояния $H$ образует полный базис, то мы должны быть в состоянии расширить его производные с полным базисом. Если это так, то это соотношение должно сохраняться и для его производных, верно?
@RickPan, нет, отношение не выполняется по причине, указанной yuggib - коэффициенты расширения также являются функциями времени. Канонический оператор импульса $p_x$ всегда выражается как $-i\hbar\partial_x$ , независимо от функции $\psi$ может быть, но гамильтониан не всегда дается выражением $i\hbar\partial_t$ ; это верно только для специальных функций - решения зависящего от времени уравнения Шредингера.

юггиб · Answer 1

юггиб

Первое замечание заключается в том, что на строгом уровне вам не разрешено делать все эти манипуляции свободно. Однако давайте на мгновение предположим, что вы бы это сделали, потому что все в высшей степени регулярно и благопристойно.

Исходная (опущенная) гипотеза состоит в том, что

я \partial_{т} ψ (т) "=" ЧАС (т) ψ (т) .

$i\partial_t\psi(t)=H(t)\psi(t)\; .$ Если мы итерируем вывод, мы не получим просто

H (t)^{2} ψ (t)

$H(t)^2\psi(t)$ , а скорее (это простое применение правила произведения, которое действительно работает и в этом случае)

(я \partial_{т})^{2} ψ (т) "=" я \dot{ЧАС} (т) ψ (т) + ЧАС (т)^{2} ψ (т) .

$(i\partial_t)^2\psi(t)=i\dot{H}(t)\psi(t)+H(t)^2\psi(t)\; .$ Как мы можем легко видеть, именно здесь аргумент OP идет не так, поскольку производная от

H (t)

$H(t)$ вообще говоря, не обращается в нуль для операторов, зависящих от времени.

Однако я хочу еще раз заметить, что это неправильный способ работы с такими уравнениями, зависящими от времени. Правильный способ, однако, очень сложен и требует тщательного функционального анализа. Если вам интересно, наиболее распространенный метод принадлежит Т. Като, и его можно найти, например, в этой книге .

Рик Пэн

Спасибо за ответ, но мне любопытно, если мы расширим

\partial_{t} ψ

$\partial_t \psi$ с собственными состояниями

H

$H$ (что обычно считается полным базисом), не получаем ли мы

H^{2} ψ = (i \partial_{t})^{2} ψ

$H^2\psi=(i\partial_t)^2 \psi$ ?

юггиб

Вы можете использовать только собственные состояния для фиксированного

t

$t$ , но они не были бы, вообще говоря, собственными состояниями для другого

t^{'} \neq t

$t'\neq t$ (с

H (t^{'}) \neq H (t)

$H(t')\neq H(t)$ ), а также не собственные состояния для

\dot{H} (t)

$\dot{H}(t)$ . На самом деле, это не очень хороший способ думать об этом... ;-)

Рик Пэн

Спасибо за ответ. Верно, что собственные состояния могут изменяться относительно

t

$t$ , но расширяю серию по фиксированной

t

$t$ , как это не применимо?

юггиб

Позволять

ψ_{n, t}

$\psi_{n,t}$ быть собственным вектором

H (t)

$H(t)$ ; однако в расширении у вас есть

\dot{H} (t) ψ_{n, t}

$\dot{H}(t)\psi_{n,t}$ , и

ψ_{n, t}

$\psi_{n,t}$ не является для него собственным вектором.

Рик Пэн

Что, если мы рассмотрим

H^{2} ψ = H (i \partial_{t} ψ) = i \partial_{t} (i \partial_{t} ψ)

$H^2\psi=H(i\partial_t\psi)=i\partial_t(i\partial_t\psi)$ , почему это неправильно?

юггиб

Почему в мире

H

$H$ быть равным производной по времени? Производная по времени — это просто сокращенное выражение для

\partial_{t} ψ (t) = lim_{h \to 0} h^{- 1} (ψ (t + h) - ψ (t))

$\partial_t \psi(t)=\lim_{h\to 0}h^{-1}(\psi(t+h)-\psi(t))$ (при условии, что лимит существует). Семья

(H (t))_{t \in R}

$(H(t))_{t\in\mathbb{R}}$ является семейством самосопряженных операторов. В вашем первом равенстве вы просто используете свойство, которое мы предполагаем

ψ (t)

$\psi(t)$ быть решением дифференциального уравнения, а именно

i \partial_{t} ψ = H ψ

$i\partial_t\psi=H\psi$ . Это никоим образом не означает, что

i \partial_{t} ψ

$i\partial_t\psi$ также будет решением того же уравнения.

Рик Пэн

Позволять

i \partial_{t} ψ = \sum c_{k} ψ_{k}

$i\partial_t\psi=\sum c_k \psi_k$ где

ψ_{k}

$\psi_k$ являются собственными векторами

H

$H$ (по полноте собственных состояний). Затем

H (i \partial_{t} ψ) = \sum c_{k} H ψ_{k} = \sum c_{k} (i \partial_{t}) ψ_{k} = i \partial_{t} (i \partial_{t} ψ)

$H(i\partial_t\psi)=\sum c_k H \psi_k=\sum c_k (i\partial_t)\psi_k=i\partial_t(i\partial_t \psi)$ . Я сделал что-то не так?

юггиб

@RickPan Да, как правило, зависит от времени

H (t)

$H(t)$ , коэффициенты

c_{k}

$c_k$ будет зависеть как от времени, так и от функций

ψ_{k}

$\psi_k$ ...поверьте, это неверно/неправильно ;-)

Эволюция во времени волновой функции в КМ

Рик Пэн

Даниэль Санк

Рик Пэн

Ян Лалински

Рик Пэн

Ян Лалински

Ответы (1)

юггиб

Рик Пэн

юггиб

Рик Пэн

юггиб

Рик Пэн

юггиб

Рик Пэн

юггиб

Эволюция во времени с зависящим от времени гамильтонианом [закрыто]

Оператор эволюции времени

Унитарное преобразование гамильтониана со спин-орбитальной связью

Общее решение состояний зависящего от времени гамильтониана

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как я могу доказать коммутацию между гамильтонианом и вектором Рунге-Ленца? [закрыто]

Вычисление среднего значения гамильтониана

Уравнение Шредингера для зависящего от времени гамильтониана и сопряжения

Описание энергий с помощью странного гамильтониана

Проблема с обозначениями Дирака и теоремой Эренфеста