Уравнение Шредингера для зависящего от времени гамильтониана и сопряжения

Уравнение Шредингера для оператора эволюции гласит:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}HU$$

где для зависящего от времени гамильтониана, который не обязан коммутировать сам с собой в разное время, мы определяем

$$U(t,t_0)=Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} H(t')dt'}$$

где$T$является оператором упорядочения времени.

Если теперь взять сопряженное транспонирование первого уравнения:

$$\frac{\partial U^\dagger}{\partial t} = +\frac{i}{\hbar}U^\dagger H \tag{1}$$

а если вместо этого посмотреть на$U^\dagger$(сопряженное транспонирование определенного$U$), и берём её производную, получаем:

$$\frac{\partial U^\dagger}{\partial t} = +\frac{i}{\hbar}H U^\dagger \tag{2}$$ Очевидно, что они эквивалентны только в том случае, если гамильтониан коммутирует сам с собой в разное время, и в этом случае временной порядок избыточен и $[U,H]=0$.

Если они не коммутируют, какой из двух правильный?

Примечания, о которых следует помнить:

1. Хотя технически мое первое предположение состояло бы в том, что вторая линия мысли верна, я не уверен в этом, поскольку я не уверен, что$U^\dagger$просто эквивалентно взятию$i\to-i$в приведенном выше определении$U$. Разве мы не хотим$U^\dagger$определить с помощью временного анти-упорядочения?
2. Если первый пункт верен, что он означает относительно производной по времени? Означает ли это, что при взятии производной$H$должен идти справа от$U^\dagger$?
3. Обратите внимание, что положить$H$справа от$U^\dagger$, является привлекательным, если вы хотите получить обычные выражения для уравнения Шредингера и уравнения Лиувилля - фон Неймана в картине взаимодействия. Если это не так, то нельзя, например, использовать обычные выражения для картины взаимодействия, принимая зависящий от времени гамильтониан в качестве невозмущенного гамильтониана, как это делается, например, за кулисами здесь (в последнем разделе ) .