Эволюция во времени с зависящим от времени гамильтонианом [закрыто]

На самом деле в этом конкретном случае вам немного помогают, потому что временная зависимость содержится в члене, пропорциональном единичной матрице

$$\hat H = E_0e^{t/\omega_0}\hat I + E_1\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ 1&0 \end{array}\right) \, .$$ Затем вы можете сделать независимое от времени изменение базиса, определяемое $$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&-1\end{array}\right)$$ это займет $\hat H$к $$\hat h= U^{-1}\cdot \hat H \cdot U= \left(\begin{array}{cc} e^{t/\omega_0}E_0+E_1& 0 \\ 0&e^{t/\omega_0}E_0-E_1 \end{array}\right)$$ Уравнение Шредингера для каждой компоненты в этом базисе является несвязанным и имеет вид: $$i\hbar \frac{d}{dt}\vert\phi_{\pm}(t)\rangle = \left(e^{t/\omega_0}E_0\pm E_1\right)\vert\phi_{\pm}(t)\rangle$$ с раствором $$\vert \phi_{\pm}(t)\rangle=C_\pm e^{-i(\pm E_1 t +e^{t/\omega_0}E_0\omega_0)/\hbar}$$ и вы можете вернуться к исходной основе. Вы можете убедиться, что это решение НЕ имеет вид $e^{-i t H/\hbar}$именно потому, что, как отмечает @EmilioPisanty, $U(t)=e^{-i t H/\hbar}$справедливо только для независимых от времени гамильтонианов.

Личность$\hat{U} = e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} t}$выполняется только для независимого от времени гамильтониана, что здесь неприменимо. Вместо этого пропагатор здесь задается упорядоченной по времени экспонентой$\hat{U}(t_2,t_1) = \mathcal T \left[e^{- \frac{i}{\hbar} \int_{t_1}^{t_2} \hat{H}(t) \mathrm d t}\right]$, что не особенно полезно в этой ситуации.

В вашей ситуации у вас осталось очень мало вариантов, кроме прямого решения связанных уравнений Шредингера,

$$\begin{align} i\hbar \dot a(t) & = E_0e^{t/w_0} a(t) + E_1 b(t), \\ i\hbar \dot b(t) & = E_1 a(t) + E_0e^{t/w_0} b(t). \end{align}$$ Это сложно решить, но вы можете начать, установив $E_1=0$, в этом случае оба $a$и $b$подчиняются дифференциальному уравнению $$i\hbar \dot c(t) = E_0e^{t/w_0} c(t),$$ чье решение $$c(t)= c(0)e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar},$$ так что вы можете ездить на этом и определить $a(t) = \alpha(t) e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar}$и $b(t) = \beta(t) e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar}$, для которого уравнение Шредингера упрощается до $$\begin{align} i\hbar \dot \alpha(t) & =E_1 \beta(t) , \\ i\hbar \dot \beta(t) & = E_1 \alpha(t) , \end{align}$$ чьи решения $$\begin{align} \alpha(t) & = \alpha(0) \cos(E_1t/\hbar) -i \beta(0) \sin(E_1t/\hbar)\\ \beta(t) & = -i\alpha(0) \sin(E_1t/\hbar) + \beta(0) \cos(E_1t/\hbar). \end{align}$$ Все остальное будет зависеть от того, что именно вы хотите делать с этими решениями.