Эйнштейновское тело: одномерный или трехмерный квантовый гармонический осциллятор?

Модель Эйнштейна для твердых тел предполагает, что все атомы вибрируют с одинаковой частотой.$\omega$, каждый атом моделируется как квантовый гармонический осциллятор. Дело в том, что твердые тела являются трехмерными объектами, следовательно, атомы вибрируют в трех измерениях.

Это решается следующим образом:

Одномерный квантовый гармонический осциллятор имеет энергию:

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$$

Но поскольку квантовый гармонический осциллятор трехмерен, мы можем считать, что атомы колеблются независимо в каждом из трех измерений:

$$E_{nx} = \left(n_x + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$$

$$E_{ny} = \left(n_y + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$$

$$E_{nz} = \left(n_z + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$$

Затем находим полную энергию твердого тела.$E(\omega, T)$используя статистику Больцмана независимо в каждом направлении, таким образом находя некоторую энергию$E_x$для заданного направления, а затем находим полную энергию$E = 3E_x$, поэтому находим теплоемкость$\frac{dE}{dT} = 3 \frac{dE_x}{dT}$.

В чем я сомневаюсь, так это в том, что я пытался решить ту же проблему, но рассматривая атом как трехмерный квантовый гармонический осциллятор энергии:

$$E_{n} = \left(n + \frac{3}{2} \right) \hbar \omega$$

И затем решение для полной энергии. То, что мы находим для теплоемкости, используя здесь статистику Больцмана, совпадает с теплоемкостью, если бы осциллятор был просто одномерным . Это, конечно, неправильно, так как отсутствует множитель 3.

Я хочу понять, почему мы используем три «одномерных квантовых гармонических осциллятора» вместо одного трехмерного осциллятора. Я имею в виду, я считаю, что то, что я сделал неправильно, это то, что я не принял во внимание дегенерацию, но я не уверен, что это действительно так. Имеет ли это какое-то отношение к$n = n_x + n_y + n_z$? Если нет, то что происходит?