Факторизация экспоненциальной формы группового элемента группы Ли с использованием подгрупп

Я работаю над нелинейной реализацией голдстоуновских бозонов, как это делает Вайнберг в разделе 19.6 Квантовой теории поля, том II.

У нас есть реальная, компактная и связная группа Ли. г с подгруппой ЧАС . Позволять т а быть генераторами ЧАС , и Икс я — генераторы, оставшиеся (сломанные генераторы), такие, что они вместе охватывают группу Ли г , г . Общий элемент г тогда можно, насколько я понимаю, написать

г "=" опыт ⁡ { я ( ξ я Икс я + θ а т а ) } .
Однако Вайнберг утверждает, что мы можем написать (уравнение 19.6.12)
г "=" опыт ⁡ { я ξ я ′ Икс я } опыт ⁡ { я θ а ′ т а } .
Это также используется в других источниках, посвященных тому же материалу. Почему это правда? Мне это кажется правдоподобным, глядя на С О ( 3 ) в качестве примера, однако я не видел ни доказательства, ни какого-либо реального обоснования этой формы.

Редактировать: Итак, я исследовал происхождение утверждения, которое, как утверждает Космас в комментариях, является этой статьей CWZ. Утверждение здесь квалифицируется как «в некоторой окрестности г , любой элемент г е г может быть однозначно разложен как г "=" опыт ⁡ ( я ξ я Икс я ) опыт ⁡ ( я θ а т а ) . Это более слабое утверждение, и оно кажется прямым из теоремы об обратной функции.

Заявление вошло в основное русло физики в CWZ .
Вы просите доказательство карты CBH ( ξ ′ , θ ′ ) ↦ ( ξ , θ ) обратим, верно?
Или это ( ξ ′ , θ ′ ) → г сюръективно, я думаю.
Верно. Но это чисто математический вопрос, лучше всего освещенный в MSE. Если у вас есть на это смелость, вам следует пройтись по Фултону и Харрису .

Ответы (1)

Оба верны на самом деле. В окрестности единицы оба отображения определяют локальные диффеоморфизмы из касательного пространства в единице в группу Ли. Обратите внимание, что карты разные: один и тот же элемент группы определяется двумя разными наборами значений. Говорят о координатах первого и второго типа. Доказательство основано на теореме об обратной функции: в обоих случаях дифференциал отображения в нуле касательного пространства несингулярен, и тогда отображение является локальным диффеоморфизмом.

Достаточно ли этого, чтобы заключить, что любой элемент г можно так написать?
Нет, не каждый элемент. Однако каждый элемент является конечным произведением произведений только двух факторов. Это следствие того, что группа связана.
Ну, это недостаточно сильно. Вайнберг утверждает: «Потому что т а и Икс я охватывают алгебру Ли г , любой конечный элемент г может быть выражен в виде г "=" опыт ⁡ ( я ξ я Икс я ) опыт ⁡ ( я θ а т а ) ". Вы хотите сказать, что это неправда? Насколько я могу судить, это необходимо для построения реализации бозонов Голдстоуна.
Я не говорю, что это неправда. Может быть это. Но доказательство не тривиально.
Взгляните на книгу Барута Рачака по теории представлений.
Спасибо за рассмотрение вопроса, он меня беспокоит. Всегда приятно слышать, что ваши проблемы не тривиальны.
Однако это должно быть известным фактом, если это правда. Например, известно, что если группа компактна, то экспоненциальное отображение сюръективно (не обязательно инъективно вне окрестности единицы).
Как сказано в моем редактировании выше, кажется, что исходная статья требует только более слабого утверждения «в окрестности идентичности г ". Я предполагаю, что сильное утверждение может быть неверным и не нужным, но я должен присмотреться к нему поближе.
Факторизация экспоненциальной формы группового элемента группы Ли с использованием подгрупп
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v