Факторизация экспоненты сломанных образующих при параметризации скалярного мультиплета в неабелевом SSB

Описывая нарушение абелевой симметрии в своей книге по калибровочным теориям, отдавая предпочтение вакууму (среднее ожидание которого равно$v$) из симметричного континуума Квигг параметризует комплексный скаляр как

$$\phi=e^{i\frac{\zeta}{v}}\frac{v+\eta}{\sqrt{2}} \tag{1}$$

Затем он продолжает использовать калибровочную свободу, чтобы исключить Голдстоуна (калибровочный бозон здесь не имеет значения, я сомневаюсь) с помощью преобразования, калибровочный параметр которого равен$\alpha=-\frac{\zeta}{v}$.

Моя проблема - неабелев случай. Предположим,$SU(2)$модель, в которой абелевы подгруппы, соответствующие первым двум образующим$T_1$и$T_2$были сломаны. Тогда аналогично (1) делается запись поля в виде

$$\phi=e^{\frac{i}{v}(\zeta_1T_1+\zeta_2T_2)} \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ v +\eta\end{matrix} \right) \tag{2}$$

после чего переходим к U-калибровке с помощью калибровочного преобразования с параметром$\vec{\zeta}=-\frac{1}{v}(\zeta_1, \zeta_2, 0)$.

Я не понимаю уравнение (2). Понятно, что то, что мы делаем после смещения вакуумной компоненты вокруг ее ожидаемого значения, — это записываем поле как результирующий вектор, на который действует экспонента произвольной линейной комбинации сломанных образующих, но я не знаю, почему это так . случай. Сначала уравнение (1) показалось мне просто записью поля в полярной форме, для удобства, поскольку оно абсолютно и очевидно общее. Тогда я ожидал бы, что (2) снова является просто общим способом выражения трехкомпонентного сложного произвольного вектора , но я не понимаю, почему это общий факт. То есть о третьем компоненте заботится «произвольный»$\eta$, но я не знаю, позаботятся ли о первых двух экспонента.

Конечно, мой способ мышления и интерпретации (1) может быть просто неправильным. Итак, почему экспонента в (2) содержит только сломанные образующие?

(Правка) Пример: В своей книге Фрэмптон имеет дело с$SO(N)$модель: сначала разбить (связанное подпространство)$N-1$генераторы, он выбирает вакуум

$$\phi_0=\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ v+\eta \end{matrix}\right)$$

и используя явные генераторы$(L_{ij})_{kl}=-i(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})$он показывает, что мы можем параметризовать

$$\phi=\exp\left({\frac{i}{v}\sum_{i=1}^{N-1}\xi_{i}T_i}\right)\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ v+\eta \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \xi_1 \\ ... \\ \xi_{N-1} \\ v+\eta \end{matrix}\right)$$

где$T_i \equiv L_{iN}$. После этого он переходит на U-образную шкалу по стандартной процедуре. Дело в том, что в этом примере происходит именно то, что у меня сложилось впечатление: экспонента (воображаемый аргумент) линейной комбинации сломанных образующих, действуя на вакуум, порождает общий ( по модулю того, что$\xi_i$выглядят как фазы) вектор в$N-1$первые записи. Насколько это общепринято и почему?

(Edit2): Давным-давно я принял приведенный ниже ответ (который очень вдумчив и очень ценен), но, перечитывая его сейчас, я понимаю, что на самом деле никогда его не понимал. Я попытаюсь определить некоторые мои конкретные заблуждения по этому поводу (конечно, вы также можете просто проигнорировать эту часть вопроса и ответить на его основную часть выше, если вы считаете, что ответ ниже неадекватен).

(i) Возьмем отрывок « Поля, преобразующиеся при G, дают представление, и они являются элементами G. Затем вы можете провести отождествление ϕ=g и применить уравнение разложения (1)». «: Как поля преобразуются при некотором представлении отождествляемой с элементами самого представления (вплоть до формального приравнивания к форме преобразований)?

(ii) Уравнение (1) кажется довольно общим и мощным результатом. Какова его достоверность (имеется в виду, существуют ли другие условия, кроме заявленных, необходимые для его работы) и как можно это доказать?

TL;DR Вопрос: Кратко сформулируем вопрос: операциональная красота формализма Хиггса заключается в том, что легко перейти к унитарной калибровке, где Голдстоуны явно разделяются с помощью калибровочного преобразования, но как и почему всегда можно параметризовать общее расширение поля вокруг излюбленного вакуума как нечто вроде

$$\text{exp}\left\{i\sum_{\text{broken}} \xi_i T^i\right\}\left(\begin{matrix} ... \\ v+H \end{matrix}\right),$$

где$T_i$являются генераторами и$H$является «Хиггсом», так что калибровочное преобразование может отменить экспоненту, и спектр очевиден.