Группы Ли с одинаковой алгеброй

Question

Группы Ли с одинаковой алгеброй

Физика
алгебра лжи
теория групп
нарушение симметрии
квантовая теория поля
групповые представления

Вольпертингер

У меня возникла проблема при рассмотрении нарушения симметрии в калибровочной теории SO(4):

$\mathcal{L} = \left| D_\mu\phi \right|^2$

где $D_\mu$ является ковариантной производной SO(4). Затем, предположив, что существует некоторый потенциал с минимумом, такой, что мы можем выбрать основное состояние:

$\langle \phi \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & v \end{pmatrix}^{T}$

После этого я нашел неповрежденные генераторы, которые должны генерировать подгруппу SO (4), и что их генераторы выполняют $\mathfrak{su}(2)$ алгебра. Теперь я хотел заключить, что поэтому неразрывной подгруппой является SU(2). Но есть несколько групп с такой же алгеброй, например, SO(3) тоже. Как узнать, какая из них является правильной подгруппой? Есть ли способ увидеть это из явной формы генераторов? (например, размер представления)

Qмеханик

Это упражнение по вычислению группы изотропии .

TLDR

Конечно. Найдите подгруппу, порожденную непрерывными образующими. Какая подгруппа кажется вам более естественной? (И что, вероятно, имеет топологическое препятствие?)

Вольпертингер

@ fs137 что такое топологическое препятствие?

TLDR

Думаю, мне следовало написать «препятствие, связанное с глобальными, а не локальными свойствами». Если вы возвеличиваете в пределах

S O (4)

$SO(4)$ конкретные генераторы, которые оставляют

⟨ ϕ ⟩

$\langle \phi\rangle$ инвариант, то вы обнаружите, что замыкание дает

S O (3)

$SO(3)$ и не

S U (2)

$SU(2)$ , но причина этого больше связана с дифференциальной геометрией, чем с топологией.

Ответы (2)

Группы Ли с одинаковой алгеброй

Это упражнение по вычислению группы изотропии .
Конечно. Найдите подгруппу, порожденную непрерывными образующими. Какая подгруппа кажется вам более естественной? (И что, вероятно, имеет топологическое препятствие?)
@ fs137 что такое топологическое препятствие?
Думаю, мне следовало написать «препятствие, связанное с глобальными, а не локальными свойствами». Если вы возвеличиваете в пределах $SO(4)$ конкретные генераторы, которые оставляют $\langle \phi\rangle$ инвариант, то вы обнаружите, что замыкание дает $SO(3)$ и не $SU(2)$ , но причина этого больше связана с дифференциальной геометрией, чем с топологией.

TLDR · Answer 1

Вектор $(0,0,0,v)$ остается инвариантным набором матриц вида

\begin{aligned} М "=" [\begin{matrix} р & \vec{0} \\ {\vec{0}}^{Т} & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} M=\begin{bmatrix} R & \vec 0 \\ \vec 0^T & 1\end{bmatrix} \end{align*}$ где

det (M) = det (R) = 1

$\det(M)=\det(R)=1$ и

M^{- 1} = M^{T}

$M^{-1}=M^T$ подразумевает

R^{- 1} = R^{T}

$R^{-1}=R^T$ . По определению,

S O (3)

$SO(3)$ представляет собой группу 3 на 3 ортогональных матриц с определителем 1.

В общем, вам нужно знать саму группу Ли, чтобы найти правильную подгруппу (т. е. вы не можете просто найти подгруппу только с помощью алгебры). Именно из-за таких случаев, как $SU(2)$ и $SO(3)$ которые имеют изоморфные касательные пространства, но которые имеют разные глобальные свойства.

это по существу отвечает на мой вопрос, спасибо! могу я задать еще один вопрос: если у меня есть явное представление алгебры Ли (т. е. в приведенном мной примере у меня были непрерывные образующие, соответствующие фундаментальному представлению группы), могу ли я тогда узнать, что это за группа, просто возведя в степень ? как и в матрицах, которые я получаю из этого, они представляют только SO (3) или они также могут быть представлением SU (2)? (я предполагаю, что они будут представлять только ТАК (3))
Оказывается, что $SU(2)$ представляет собой двойную обложку $SO(3)$ , и существует сюръективный гомоморфизм из $SU(2)$ к $SO(3)$ . Таким образом, вы можете просмотреть представление $SO(3)$ как представление $SU(2)$ . Примечание $SO(4)$ содержит копию $SU(2)$ , но подгруппа $SO(4)$ сохраняющая данный вектор, не эквивалентна этой группе.

Диракология · Answer 2

К заданной алгебре Ли $\mathfrak g$ есть уникальная группа $\tilde G$ , называемая универсальной накрывающей группой, со свойством односвязности . Например, накрывающая группа алгебры $\mathfrak{su}(2)$ является $SU(2)$ .

Остальные группы, $\{G\}$ , связанные с той же алгеброй, можно получить из накрывающей группы следующим образом

г "=" \frac{\tilde{г}}{К е р (р)},

$G=\frac{\tilde G}{Ker(\rho)},$ где

K e r (ρ)

$Ker(\rho)$ является ядром гомоморфизма групп

ρ : \tilde{G} \to G

$\rho:\tilde G\rightarrow G$ . Как только вы определили конкретное представление, вы можете вычислить это ядро. Например, вы начинаете с

s u (2)

$\mathfrak{su}(2)$ алгебра. Тогда, если вы выберете присоединенное представление, вы можете показать, что

K e r (ρ) = Z_{2}

$Ker(\rho)=\mathbb Z_2$ и группа будет

G = S U (2) / Z_{2} = S O (3)

$G=SU(2)/\mathbb Z_2=SO(3)$ . С другой стороны, если вы выберете определяющее представление, вы получите

K e r (ρ) = 1

$Ker(\rho)=\mathbb 1$ и

G = S U (2) / 1 = S U (2)

$G=SU(2)/\mathbb 1=SU(2)$ .

Есть некоторые технические детали, необходимые для вычисления этого ядра. В общем,

К е р (р) \subset Z (\tilde{г}),

$Ker(\rho)\subset\mathcal Z(\tilde G),$ где

Z (\tilde{G})

$\mathcal Z(\tilde G)$ является центром

\tilde{G}

$\tilde G$ , а этот центр является конечной группой, которую можно получить из расширенной диаграммы Дынкина.

Те же ссылки: Корнуэлл, теория групп в физике, 1984; Olive, Turok, Nucl Phys B215, 1983, стр. 470;

Ваш ответ хорошо написан, но не касается поставленного вопроса.
Думаю, обращается. Вопрос в основном таков: учитывая набор непрерывных образующих, образующих алгебру Ли, и ее представление, что является ассоциированной группой Ли? Я просто дал ответ без упоминания факта $G$ является группой или подгруппой чего-либо еще. Математика за этим такая же.
Ваш ответ описывает, как можно получить набор всех групп, которые согласуются с конкретной алгеброй Ли, но не описывает, как выбрать правильную группу.
Я вижу вашу точку зрения. Но мой ответ не только описывает, как получить все группы, связанные с данной алгеброй Ли. В нем также описывается, как найти конкретную и «физическую» группу в конкретном спонтанном нарушении симметрии (SSB). Как только вы определите представление калибровочной алгебры и конкретного SSB, вы узнаете представление подалгебры. Затем вы получаете неразрывную группу способом, описанным выше.
Я полагаю, что, поскольку симметрия локальна, в теории возмущений не должно иметь значения, рассматриваем ли мы ненарушенную группу симметрии как $SU(2)$ или $SO(3)$ . Однако представляется, что отношения между $SO(3)$ и $SU(2)$ решетчатые калибровочные теории более тонкие, чем предполагает « наивный континуальный предел»: arxiv.org/pdf/hep-lat/0211004.pdf . Если существует значительная непертурбативная разница между $SU(2)$ и $SO(3)$ , то вложение неразрывной группы в $SO(4)$ имеет значение.
И на самом деле существуют значительные непертурбативные различия между $SU(2)$ и $SO(3)$ . В основном связаны с топологическими аспектами. Спонтанно нарушенная калибровочная теория может иметь или не иметь топологические решения (инстантоны, монополи, вихри...) в зависимости от топологии как сломанной, так и ненарушенной калибровочной группы.
Да, но это была та часть, которую я не увидел в вашем исходном ответе (т.е. $SO(3)$ скорее, чем $SU(2)$ является неразрывной калибровочной группой, учитывая, что $\langle\phi\rangle$ установлен на $(0,0,0,v)$ ).

Группы Ли с одинаковой алгеброй

Вольпертингер

Qмеханик

TLDR

Вольпертингер

TLDR

Ответы (2)

TLDR

Вольпертингер

TLDR

Диракология

TLDR

Диракология

TLDR

Диракология

TLDR

Диракология

TLDR

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Заряд поля под действием группы

Насколько уникальны квантовые числа, которые мы обычно используем?

Ряд Тейлора для унитарного оператора в Вайнберге

Как выбор конкретного вакуума в задаче теории поля определяет количество голдстоуновских бозонов?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Почему представления, а не просто группы?

Спонтанное нарушение симметрии SU(2)SU(2)SU(2) в вещественных и комплексных скалярных полях

Теоретико-групповой способ нахождения зарядов после SSB