Откуда в ТВО происходит нарушение симметрии U(1)U(1)U(1)?

1. Ссылка 1, кажется, не упоминает о нарушении симметрии$U(1)$которая принадлежит части$SU(5)$чего нет в стандартной модели. В этом ответе мы будем считать, что ОП действительно спрашивает о слабом гиперзаряде. $U(1)$калибровочный коэффициент стандартной модели.

2. Напомним, что на уровне алгебры Ли алгебра Ли$su(n)$состоит из эрмитовых бесследных$n\times n$матрицы и имеет ранг $n-1$. Включение

   $$\underbrace{su(n)}_{\text{rank } n-1} \oplus \underbrace{su(m)}_{\text{rank } m-1} \oplus u(1)~\subset~ \underbrace{su(n+m)}_{\text{rank } n+m-1},$$ максимальная абелева подалгебра [диагональных эрмитовых бесследовых$(n+m)\times(n+m)$матрицы] одинакова с обеих сторон. Алгебра Ли в левой (правой) части является редуктивной ( простой ) соответственно. Бесследовый генератор Картана для вышеуказанного$u(1)$является
   $$\begin{pmatrix} -m\mathbb{1}_{n\times n} & \mathbb{0}_{n\times m} \cr \mathbb{0}_{m\times n} & n\mathbb{1}_{m\times m} \end{pmatrix}~\in~su(n+m).$$

3. Теперь рассмотрим на групповом уровне. Определять

   $$k~:=~{\rm gcd}(n,m), \quad n^{\prime}~:=~n/k \quad\text{and}\quad m^{\prime}~:=~m/k,$$ так что целые числа$n^{\prime}$и$m^{\prime}$являются взаимно простыми. Гомоморфизм групп Ли $$G~:=~SU(n) \times SU(m) \times U(1)~\ni~ (g,h,\alpha)~\stackrel{\Phi}{\mapsto}~\begin{pmatrix} \alpha^{-m^{\prime}}g & \mathbb{0}_{n\times m} \cr \mathbb{0}_{m\times n} & \alpha^{n^{\prime}} h \end{pmatrix}~\in~ SU(n+m)$$ не является инъективным . На самом деле ядро $${\rm Ker}(\Phi) ~\cong~\mathbb{Z}_{nm/{\rm gcd}(n,m)}$$ создается элементами $$\left(e^{i2\pi j/n}\mathbb{1}_{n\times n},~e^{-i2\pi j/m}\mathbb{1}_{m\times m},~e^{i2\pi jk/nm}\right)~\in~G, \quad j~\in~\{1,\ldots,k\}.$$ Группа «Ложь»$G$не является подгруппой$SU(n+m)$, но факторгруппа $$G/{\rm Ker}(\Phi) ~\cong~G/\mathbb{Z}_{nm/{\rm gcd}(n,m)}$$ является подгруппой$SU(n+m)$.

Использованная литература:

1. JC Baez, Многообразия Калаби-Яу и Стандартная модель, arXiv:hep-th/0511086 .