Фазовый градиент, векторный потенциал и ток в сверхпроводнике

Для сверхпроводника мы можем написать волновую функцию$\psi$как функция плотности$\rho(\vec{r})$частиц как

$$\psi(\vec{r})=\rho^{1/2}(\vec{r})\,e^{i\theta} \, .$$

Это приводит к току плотности вероятности

$$\vec{J}=\frac{\hbar}{m} \left(\nabla\theta-\frac{q}{\hbar}\vec{A} \right)\rho \, ,$$

который, как я понял из чтения Vol.3, гл. 24 Фейнмановских лекций, можно рассматривать как волновую функцию всех куперовских пар и фактический ток заряда в материале.

Я изо всех сил пытался понять, как одно и то же выражение для тока приводит к различным результатам:

• Если мы хотим вывести квантование потока, уравнение тока должно быть интегрировано в виде замкнутой кривой вокруг магнитного потока, в котором нет тока, приравнивая изменение фазы по замкнутой кривой и сам магнитный поток интегралом от$\vec{A}$.
• Чтобы вывести второе уравнение Лондона, мы должны принять$\nabla\theta=0$. Как мы можем обосновать это, учитывая, что фазовый градиент является фундаментальным для объяснения квантования потока? Нам нужно$\nabla\theta$раньше и сейчас это$=0$. Чем отличается эта ситуация?
• Если предположить, что уравнение Лондона верно в случае квантования потока, то вокруг каждого вихря (для всего объема) должен быть ток, где есть ненулевой векторный потенциал. Почему это рассуждение неверно?
• В джозефсоновском переходе ток связан с разностью фаз между двумя сверхпроводниками, опять же нам нужно$\nabla\theta$, однако уравнения Лондона говорят нам, что ток должен быть связан только с векторным потенциалом$\vec{A}$. Как мы можем понять это?