Для взаимодействующей квантовой системы преобразование Хаббарда-Стратоновича часто используется для разделения членов взаимодействия в действии путем введения комплексного (бозонного) скалярного поля. Это скалярное поле связано, как потенциал, с фермионными полями, так что действие является квадратичным в фермионных полях.
Например, в случае сверхпроводящей системы фоковское пространство сокращено до , где (так называемое пространство Намбу) является одночастичным гильбертовым пространством и двойственное пространство (см. Ссылка Классы симметрии неупорядоченных фермионов П. Хайнцнера, А. Гекльберри, М. Р. Цирнбауэра).
Однако это всего лишь фермионное гильбертово пространство. В полном гильбертовом пространстве должна быть и бозонная часть для скалярного поля. С моей точки зрения, полное гильбертово пространство должно быть равно:
где является одночастичным гильбертовым пространством для фермионного поля и гильбертово пространство для бозонного поля.
Мой вопрос: это правильно до сих пор? Т.е. что преобразование Хаббарда-Стратоновича можно записать как
Тогда, может быть, очень глупый вопрос, но если это правильно, то есть ли отношение к суперсимметричным системам? Потому что гильбертово пространство в суперсимметричной системе определено выше или нет?
Гильбертово пространство, основанное на теории возмущений, в общем случае плохо определено в системах с взаимодействиями. А именно, он не видит появления связанных состояний, когда мы принимаем во внимание непертурбативные свойства теории. Примером может служить атом водорода, который не существует в теории возмущений КЭД. Двумя словами, гильбертово пространство, основанное на теории возмущений, схематично определяется как
Теперь нам нужно понять смысл преобразования HS. Для этого заметим, что мы обычно отражаем структуру гильбертова пространства при построении лагранжевого оператора. В теории возмущений он строится из полей рождения-разрушения с операторами . Они определены таким образом, что без взаимодействий фоковское состояние
Существует простой способ модифицировать теорию для включения таких ограниченных состояний (т.е. сделать их видимыми). Предположим, что наше ограниченное состояние аннулируется оператором . Чтобы включить связанное состояние в теорию можно включить лагранжев член
Другая ситуация возникает, когда имеется ненулевое среднее значение вакуума. . Тогда можно лечить как классическое внешнее поле. Преобразование, созданное является, таким образом, отображением взаимодействующей теории в свободную теорию с движением во внешнем поле.