Что такое фононы?

Фононы не являются частицами, как электроны или протоны, фононы - это квазичастицы , эти типы частиц просто используются для описания возбуждений поля: в случае фононов фононы используются для описания элементарных колебаний решетки, которые имеют определенную частоту.

Электрон-фононное взаимодействие:

По сути, куперовские пары - это просто пары электронов, которые притягиваются друг к другу из-за электрон-фононного взаимодействия, это взаимодействие вызвано кулоновской силой, которая существует между электронами и решеткой (положительно заряженным ядром (протонами)), потому что решетка колеблется (эти колебания называются фононами). ), фононы влияют на электрон (поскольку электрон движется в изменяющемся потенциальном поле, вызванном колебаниями решетки), и иногда электрон поглощает этот фонон и приобретает некоторый импульс $\vec{q}$. Итак, вначале состояние электрона описывается с помощью этой волновой функции: $|\vec{k_1}\rangle$где $\vec{k_1}$представляет собой импульс электрона, а его энергия описывается с помощью этого уравнения Шрёдингера: $$h|\vec{k_1}\rangle=\epsilon_{k_1}|\vec{k_1}\rangle$$ Где $h$является гамильтоновым для одного электрона и $\epsilon_k$это энергия. Поскольку решетка вибрирует, электрон движется в изменяющемся потенциальном поле, и иногда электрон будет поглощать эту вибрацию (электрон будет поглощать фонон), и он будет приобретать импульс, и его состояние будет описываться с помощью этой волновой функции: $|\vec{k_1}+\vec{q}\rangle$:

После того, как электрон набрал импульс, его энергия также изменилась и описывается следующим уравнением:

$$h|\vec{k_1}+\vec{q}\rangle = \epsilon_{k_1+q}|\vec{k_1}+\vec{q}\rangle$$ Электрон также может излучать фонон (т. е. заставлять решетку вибрировать): электрон начинает с импульса $\vec{k_1}$(волновая функция | $\vec{k_1}\rangle$а затем испускает фонон с импульсом $\vec{q}$а из-за сохранения импульса он теряет импульс $\vec{q}$, и его новая волновая функция $|\vec{k_1}-\vec{q}\rangle$(и его энергия $\epsilon_{k_1-q}$):

Как видите, электроны могут либо поглощать, либо излучать фононы. До сих пор мы рассматривали одноэлектронную модель (т.е. систему только с одним электроном), теперь, чтобы объяснить, как образуются электронные пары, мы должны добавить еще один электрон, так как я уже упоминал, что электроны могут обмениваться импульсом с фононами, благодаря для этого один электрон может излучать фонон, который будет поглощаться другим электроном, т.е. электроны будут обмениваться фононами, этот процесс можно описать с помощью этой диаграммы фейнмана:

Эффективный потенциал (для электронов) при этом взаимодействии можно записать в таком виде

$$V = \frac{|M_{\vec{q}}|^2}{(\epsilon_\vec{k}-\epsilon_{\vec{k}+\vec{q}})^2-(\hbar\omega_\vec{q})^2}$$

Где$\omega_q$- частота колебаний решетки и$M_q$– амплитуда вероятности поглощения электрона фононом, импульс которого$\vec{q}$. Как видите, если$|\epsilon_\vec{k}-\epsilon_{\vec{k}+\vec{q}}|<\hbar\omega_\vec{q}$потенциал отрицателен, т. е. существует сила, притягивающая два электрона, но если$|\epsilon_\vec{k}-\epsilon_{\vec{k}+\vec{q}}|\geq \hbar\omega_\vec{q}$тогда потенциал положительный, и поэтому электроны не притягиваются друг к другу и не образуется куперовская пара.

Заключение:

Как видите, электрон-фононное взаимодействие создает потенциал, который притягивает два электрона, т.е. спаривает их и образует куперовские пары. Уравнение потенциала $V=\frac{|M_q^2|}{(\epsilon_{\vec{k}}-\epsilon_{\vec{k}+\vec{q}})^2-\hbar^2\omega_{\vec{q}}^2}$, а если $|\epsilon_\vec{k}-\epsilon_{\vec{k}+\vec{q}}|<\hbar\omega_\vec{q}$тогда потенциал отрицательный и электроны притягиваются друг к другу и образуют куперовские пары.