Фазовые сдвиги в теории рассеяния

Предположим, вы рассматриваете рассеяние частицы в центральном потенциале. Это означает, что гамильтониан$H$коммутирует с операторами углового момента$L^2$а также$L_z$. Следовательно, вы можете найти одновременные собственные функции$\psi_{k,l,m}$. Вы могли бы знать, например, из решения атома водорода, что эти функции могут быть выражены через сферические гармоники:

$$\psi_{k,l,m}(x) = R_{k,l}(r) \Psi_m^l(\theta, \varphi)$$ где радиальная часть удовлетворяет $$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR_{k,l}}{dr}\right) +\left(n^2 - U(r) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right) R_{k,l} = 0$$ с $U(r) = 2m/\hbar^2 V(r)$, ваш центральный потенциал и $k$- волновое число частицы, т.е. $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$

Первый шаг — поиск частного случая с простыми решениями. Это будет свободная частица с$U(r) = 0$. Тогда радиальное уравнение является частным случаем уравнения Бесселя. Решениями являются сферические функции Бесселя $j_l(kr)$а также$n_l(kr)$, где$j_l$регулярны в начале координат, тогда как$n_l$сингулярны в начале координат. Следовательно, для свободной частицы решения являются суперпозициями$j_l$:

$$\psi(x) = \sum_{l,m} a_{l,m} j_l(kr) Y^l_m(\theta, \varphi)$$

Если у нас также есть осевая симметрия, только$m = 0$актуально. Тогда мы можем переписать сферические гармоники, используя полиномы Лежандра. Это приведет к

$$\psi(x) = \sum_{l,m} A_{l} j_l(kr) P_l(\cos \theta)$$ Одним из важных частных случаев такого разложения является разложение по плоской волне Рэлея . $$e^{ikz} = \sum_l (2l+1) i^l j_l(kr) P_l(\cos\theta)$$ который нам понадобится на следующем шаге.

Мы уходим от свободных частиц и рассматриваем рассеяние от потенциала с конечным пробегом (это исключает кулоновское рассеяние!). Так,$U(r) = 0$за$r > a$куда$a$это диапазон потенциала. Для простоты предположим осевую симметрию. Тогда за пределами этого диапазона решение должно быть снова раствором свободной частицы. Но на этот раз источник не входит в диапазон, поэтому мы можем (и, по сути, должны) включить$n_l(kr)$решения уравнений Бесселя:

$$\psi(r) = \sum_l (a_l j_l(kr) + b_l n_l(kr)) P_l(\cos \theta)$$ Обратите внимание, как решение для заданного $l$имеет два параметра $a_l$а также $b_l$. Мы можем подумать о другой параметризации: $a_l = A_l \cos\delta_l$а также $b_l = -A_l \sin \delta_l$. Причина этого становится очевидной на следующем шаге:

Сферические функции Бесселя имеют дальние приближения :

$$j_l(kr) \sim \frac{\sin(kr - l\pi/2)}{kr}$$ $$n_l(kr) \sim \frac{\cos(kr - l\pi/2)}{kr}$$ которую мы можем вставить в волновую функцию, чтобы получить дальнодействующее приближение. После некоторой тригонометрии получаем $$\psi(r) \sim \sum_l \frac{A_l}{kr} \sin(kr - l\pi/2 + \delta_l) P_l(\cos \theta)'$$ Итак, вот как выглядит наша волновая функция для больших $r$. Но мы уже знаем, как это должно выглядеть: если налетающую рассеянную частицу описать как плоскую волну в $z$-направление, оно связано с амплитудой рассеяния $f$с помощью $$\psi(\vec{x}) \sim e^{ikz} + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r}.$$ Очевидно, обе формы записи дальнодействующего приближения для $\psi$должно давать то же самое, поэтому мы используем разложение по плоской волне Рэлея, чтобы переписать последнюю форму. Мы также переписываем $\sin$функция с комплексными экспонентами. Последующие расчеты немного утомительны, но не сложны сами по себе. Вы просто вставляете расширения. Что мы можем сделать потом, так это сравнить коэффициенты в обоих выражениях для одних и тех же терминов, например, уравнять коэффициенты для $e^{-ikr}P_l(\cos\theta)$дам тебе $$A_l = (2l+1)i^l e^{i\delta_l}$$ тогда как приравнивание коэффициентов для $e^{ikr}$дает тебе $$f(\theta) = \frac{1}{2ik} \sum_l (2l+1) \left( e^{2i\delta_l} - 1 \right) P_l(\cos \theta).$$

Интерпретация фазового сдвига: Помните о пределе дальнего действия волновой функции. Это привело к выражению для$l$-я радиальная волновая функция в дальнем диапазоне

$$u_l(r) = kr\psi_l(r) \sim A_l \sin(kr - l\pi/2 +\delta_l).$$ Для свободной частицы фазовый сдвиг $\delta_l$было бы $0$. Поэтому можно сказать, что фазовый сдвиг измеряет, насколько далеко асимптотическое решение вашей задачи рассеяния смещено в начале координат от асимптотического свободного решения.

Интерпретация Частичного Волнового Расширения: В литературе вы часто будете встречать такие термины, как$s$-рассеяние волн. Парциальное волновое разложение разлагает процесс рассеяния на рассеяние входящих волн с определенным квантовым числом углового момента. Это объясняет, каким образом$s$-,$p$-,$d$-волны и т.д. подвержены влиянию потенциала. При низкоэнергетическом рассеянии только первые несколько$l$- квантовые числа затронуты. Если отбросить все члены, кроме первого, останется только$s$-волны принимают участие в процессе рассеяния. Это приближение сделано, например, при рассеянии атомов в конденсате Бозе-Эйнштейна.